(IN ELABORAZIONE)
Occorrono le conoscenze del capitolo di Meccanica.
INTRODUZIONE VELOCITA' E ACCELERAZIONE TIPOLOGIA ESEMPI
VELOCITA', ACCELERAZIONE, TRAIETTORIA:
1) LA VELOCITA'
A) DEFINIZIONE
Riprendiamo la definizione data alla pagina precedente paragrafo D:
4) velocità: è il rapporto fra la porzione di spazio percorso (distanza) e l'intervallo di tempo impiegato a percorrerlo. La si può definire in due modi:
a) media: si prende tutto lo spazio percorso DS* e si divide per tutto il tempo impiegato Dt:
vm* = DS* / Dt
esempio: 600 metri percorsi in 24 secondi
vm = DS / Dt = 600 / 24 = 25 [m / s]
b) istantanea: poiché in generale non è detto che in ogni secondo (o in un tempo più piccolo) si percorrano esattamente 25 metri (o spazi inferiori in tempi inferiori) ma invece la velocità vada cambiando in un certo modo crescendo e diminuendo, si definisce la velocità istantanea, cioè la velocità del corpo in un intervallo di tempo dt estremamente piccolo, almeno concettualmente. Diremo quindi che la velocità istantanea è il rapporto fra lo spazio dS* percorso in un tempo infinitesimo (che non è detto che sia infinitesimo) e il tempo dt impiegato a percorrerlo
v* = dS* / dt
B) RAPPRESENTAZIONE GRAFICA
La scrittura
vm* = DS* / Dt
è rappresentata graficamente, in un piano cartesiano con i tempi t in ascisse e gli spazi S in ordinate, da una retta. Proviamolo usando la seconda scrittura vm = DS / Dt = 600 / 24 = 25 [m / s]. Il punto iniziale è rappresentato dalle coordinate v = 0 al tempo t = 0; una coordinata intermedia è data da v = 25 [m / s] al tempo t = 12 [s]; quella finale è data da v = 25 [m / s] al tempo t = 24 [s].
Il diagramma è stato costruito con i seguenti dati:
tempo t: 6, 12, 18, 24 secondi; spazio S: 150, 300, 450, 600 metri
riunendo i punti individuati nel piano si è tracciata una retta (gialla nel disegno) che rappresenta proprio il legame fra il tempo e lo spazio percorso. L'angolo fra il diagramma e l'asse orizzontale(1) è:
a = arctang 150/6 = arctang 300/12 = arctang 450/18 = arctang 600/24 = 87°,71 = vm = 25 [m / s]
Questo risultato è una conferma della DIFFERENZA fra la rappresentazione grafica e il valore "vero" del fenomeno.
Se invece delle coordinate t e S adoperiamo x e y, l'equazione scritta più su diventa:
vm* = DS* / Dt vm = y / x cioè y = vm x
che è proprio l'equazione di una retta che passa per l'origine e ha come coefficiente angolare vm.
ATTENZIONE!
Il diagramma NON dice quale tipologia di moto è in corso. Le notizie sono due e cioè: il moto è uniforme, la velocità è 25 [m / s].
C) CONFRONTO DI VELOCITA'
Disegnando sul piano t - S una serie di rette possiamo fare dei confronti e ricavare alcuni dati importanti:
la 1 rappresenta un moto in avanti a velocità costante che parte al tempo zero dal punto iniziale;
la 2 rappresenta un moto in avanti alla stessa velocità costante di 1 (i diagrammi sono paralleli) che parte al tempo zero dal punto 380 metri;
la 3 rappresenta un moto indietro(2) a velocità costante che parte al tempo 1,4 s dal punto 285 metri;
la 4 rappresenta un moto in avanti a velocità costante che parte al tempo 2 s dal punto iniziale; dopo 1,5 s prosegue con moto indietro con un'altra velocità(3);
la 5 rappresenta un moto in avanti a velocità costante che parte al tempo 0 dal punto 150 m; dopo 3 s prosegue con moto indietro con un'altra velocità; e infine dopo altri 2 s riprende il moto in avanti con un'altra velocità.
D) NEGLI ALTRI QUADRANTI
Se il diagramma della velocità compare negli altri quadranti cosa significa?
Tempo negativo significa: questo è successo prima che si cominciasse a contare; oppure: così sarebbe stato se il moto fosse stato prima come è adesso.
Spazio negativo significa: il corpo viene dall'altra parte.
la 1 comincia nel punto tempo zero spazio 150 m: se però il moto fosse stato, prima, uguale a quello di adesso, il suo diagramma sarebbe stato a sinistra come è in figura (linea arancio); poi si verificano due cambiamenti di velocità.
la 2 comincia nel punto tempo zero spazio - 140 m: se però il moto fosse stato, prima, uguale a quello di adesso, il suo diagramma sarebbe stato a sinistra come è in figura (linea gialla); il corpo è rimasto fermo(4) alla distanza - 140 m dal tempo t = - 2 s sino al tempo t = + 1,1 s; poi si è mosso per 1,3 s sino alla distanza 60 m; poi si è fermato alla distanza 60 m per altri 1,1 s;
la 3 comincia nel punto tempo zero spazio 200 m: se però il moto fosse stato, prima, uguale a quello di adesso, il suo diagramma sarebbe stato a sinistra come è in figura (linea rossa); al tempo + 1 s assume un moto indietro.
NOTA BENE:
tempo negativo NON vuol dire tornare indietro nel tempo; spazio negativo NON vuol dire andare indietro.
E) VELOCITA' VARIABILE
Se la velocità del corpo è variabile nel tempo, cioè se il corpo ha una accelerazione, come diventa il suo diagramma? La scrittura
v* = dS* / dt
NON E' PIU' UNA RETTA ma una curva con andamento più o meno regolare a seconda del modo di variare della velocità istantanea. La velocità istantanea è allora misurata dalla tangente alla curva, come si vede dalla figura.
Vediamo prima la velocità media: nel triangolo A - B - C l'angolo a è dato da arctang DS* / Dt, cioè è proprio vm = (S2 - S1) / (t2 - t1) cioè ancora lo spazio totale percorso fratto il tempo di percorrenza.
Nel piccolo triangolo rosso a sinistra per l'angolo b si può ripetere lo stesso ragionamento per cui sarà v = dS / dt. Ricordando che si tratta di vettori scriveremo quindi
v* = dS* / dt
essendo la linea rossa la tangente al diagramma della velocità.
NOTA BENE:
se la velocità è costante il diagramma è rettilineo e quindi la tangente COINCIDE con la retta.
2) L'ACCELERAZIONE (CON UNA SOLA ELLE!)
A) DEFINIZIONE
Riprendiamo la definizione data alla pagina precedente precedente paragrafo D:
5) accelerazione: è l'espressione del cambiamento di velocità, cioè è il rapporto fra la variazione di velocità e il tempo durante il quale avviene quel cambiamento. E' di due tipi:
a) media: si prende la variazione totale di velocità Dv* e si divide per il tempo totale Dt impiegato ad effettuare la variazione:
am* = Dv* / Dt = (v2* - v1*) / Dt
Esempio: al tempo 4 secondi velocità 19 [m / s], al tempo 9 secondi velocità 31 [m / s]; l'accelerazione è stata di
am = Dv / Dt = (v2 - v1) / Dt = (31 - 19) / (9 - 4) = 2,4 [m / s2]
b) istantanea: poiché in generale non è detto che in ogni secondo (o in un tempo più piccolo) la velocità cambi esattamente di 2,4 m / s (o velocità inferiori in tempi inferiori) ma invece la velocità vada cambiando in un certo modo crescendo e diminuendo, si definisce la accelerazione istantanea, cioè la variazione di velocità del corpo in un intervallo di tempo dt estremamente piccolo, almeno concettualmente. Diremo quindi che la accelerazione istantanea a* è il rapporto fra la variazione dv* intervenuta, che non è detto che sia infinitesima, in un tempo infinitesimo e il tempo dt impiegato a percorrerlo, cioè:
a* = dv* / dt
B) RAPPRESENTAZIONE GRAFICA
La scrittura
am* = Dv* / Dt = (v2* - v1*) / Dt
è rappresentata graficamente, in un piano cartesiano con i tempi t in ascisse e le velocità v in ordinate, da una retta. Infatti se consideriamo il triangolo A - B - C si ricava che l'angolo fra l'asse t e la retta a vale proprio arctang Dv/Dt, cioè è il coefficiente angolare della retta
Dv = am Dt
Se poi osserviamo il piccolo triangolo a sinistra troviamo che è a = dv / dt.
Se l'accelerazione è variabile, riportiamo il diagramma della velocità e troveremo che l'accelerazione istantanea è data dalla tangente al diagramma (vedi il paragrafo precedente 1 E: velocità variabile).
3) LA TRAIETTORIA
A) DEFINIZIONE
Riprendiamo la definizione data alla pagina precedente precedente paragrafo D:
1) traiettoria: è l'insieme dei punti occupati dal corpo (o meglio dal suo baricentro, come vedremo) al trascorrere del tempo. Può essere di due tipi:
a) rettilinea: la traiettoria è rettilinea quando il corpo occupa in successione i punti di un pezzo di retta.
b) curvilinea: la traiettoria è curvilinea quando il corpo occupa in successione i punti di un pezzo di curva (circonferenza o altro).
Le traiettorie vengono descritte per mezzo di equazioni, in due variabili se essa è piana, in tre variabili se essa è nello spazio. Per esempio una circonferenza di raggio R con il centro nell'origine degli assi ha l'equazione
x2 + y2 = R2
La sfera nelle stesse condizioni ha l'equazione
x2 + y2 + z2 = R2
In generale nel piano e nello spazio, rispettivamente, si scrive
f(x,y) = 0 f(x,y,z) = 0
nelle quali il simbolo f sta ad indicare che c'è un legame fra le variabili. Per le traiettorie curvilinee che non sono nè circonferenze nè sfere si definisce il cerchio osculatore: il cerchio osculatore è quel cerchio che ha un arco in comune con la curva data. In pratica qualunque curva si può ottenere congiungendo fra loro "pezzi" di circonferenze diverse, come mostra la figura:
Da ciò segue che, almeno in linea di principio, basta conoscere il moto su una circonferenza per conoscere il moto su qualunque curva.
Se il moto avviene su un piano di solito non ci sono problemi per descrivere la traiettoria, sia come forma che come verso di percorrenza. Per le traiettorie che si svolgono nello spazio può essere utile usare il sistema dei versori, cioè determinare le componenti della traiettoria sui tre assi coordinati e studiare il moto su di esse (vedi alla pagina seguente il paragrafo A).
(1) ATTENZIONE! La misura GRAFICA (apparente) dell'angolo dipende dalla scala dei tempi e degli spazi. Se si fanno i tempi più piccoli nella figura il diagramma si "alza" senza che cambi il valore della velocità! Il significato del simbolo arctang è rinviato al corso di Matematica nel capitolo di Trigonometria.
(2) Il moto è VERSO l'origine. Infatti le distanze sono in diminuzione.
(3) Il cambiamento di velocità indica l'esistenza di una accelerazione, cosa che vedremo nel prossimo paragrafo.
(4) Il fatto che il corpo sia fermo è dimostrato dal fatto che lo spazio non cambia al trascorrere del tempo.
INTRODUZIONE VELOCITA' E ACCELERAZIONE TIPOLOGIA ESEMPI