CINEMATICA
(IN ELABORAZIONE)
Occorrono le conoscenze del capitolo di Meccanica.

INTRODUZIONE          VELOCITA' E ACCELERAZIONE          TIPOLOGIA          ESEMPI

TIPOLOGIA:

Riprendiamo le definizioni date alla pagina precedente paragrafo D:
6) tipologia: le relazioni (leggi) che regolano il moto dei corpi hanno forma diversa a seconda dellla traiettoria percorsa, per cui distingueremo:
a) moto rettilineo: è quello che avviene lungo una traiettoria costituita da una retta; devono essere definiti l'equazione della retta e i versori, cioè vettori di modulo 1 giacenti sugli assi coordinati, se si vuole fare una trattazione matematica.
b) moto curvilineo: è quello che avviene lungo una traiettoria costituita da una curva; devono essere definiti l'equazione della curva e i versori, cioè vettori di modulo 1 giacenti sugli assi coordinati, se si vuole fare una trattazione matematica.
c) moto oscillatorio: è quello che avviene lungo una traiettoria costituita da una retta o da una curva, ma il moto è del tipo "va e vieni" come quello di un pendolo; devono essere definiti l'equazione della traiettoria, i versori e l'equazione del tempo, cioè il legame fra tempo e spazio. Oltre che del pendolo è il moto caratteristico ad esempio di un corpo in moto "legato" ad una molla.

A) MOTO RETTILINEO

1) uniforme: il moto si dice uniforme quando la velocità è costante e quindi con accelerazione nulla. L'equazione generale del moto è:
S = S0 + v0 t          v = v0
Se il moto comincia all'origine dei tempi sarà S0 = 0
2) vario: il moto si dice vario quando la velocità è variabile e quindi con accelerazione non nulla. L'equazione del moto è:
S = S0 + v0 t + a t2 / 2          v = v0 + a t
Se il moto comincia all'origine dei tempi sarà S0 = 0; se il moto comincia da fermo sarà v0 = 0. Quindi se l'osservazione del moto avviene a partire dal tempo zero e da fermo l'equazione del moto è semplicemente:
S = a t2 / 2
Se l'accelerazione a è costante e positiva il moto si dice uniformemente accelerato; se a è costante e negativa il moto si dice uniformemente decelerato; se a è variabile il moto si dice vario.
Esempio: calcolare la velocità di arrivo a terra di una massa che cade dalla quota h = 200 m. Usando l'equazione del moto calcoliamo prima il tempo di caduta e poi la velocità; si ha quindi in successione:
h = g t2 / 2          t = (2 h / g)1/2 = (2 x 200 / g)1/2 = 6,39 s          v = g t = g x 6,39 = 62,64 m / s = 226 km / h
A sua volta l'accelerazione può essere costante oppure variabile con una legge più o meno complessa. Per esempio il moto di caduta dei gravi sulla Terra si studia di solito ponendo costante l'accelerazione di gravità g = 9,81 m / s2. In realtà l'accelerazione di gravità diminuisce man mano che ci si allontana dal polo e dalla superficie terrestre e quindi g è variabile(1).
3) nel piano: se il moto avviene nel piano di solito per individuarlo completamente basta conoscere l'angolo della traiettoria rispetto ad un asse coordinato(2). In questo modo è noto sia lo spazio che la velocità in modulo, direzione e verso.
4) nello spazio: per individuare univocamente il moto (spazio e velocità) conviene definire i versori sugli assi. I versori i*, j* e k* sono vettori di modulo 1 che hanno la direzione e il verso degli assi coordinati. Si determinano le tre proiezioni dei vettori spazio e velocità e si moltiplicano per i versori mettendo il segno + se sono concordi e il segno - se sono discordi, come mostra la figura:



Dalla figura si ricava:
vx* = - vx i*             vy* = - vy j*             vz* = + vz k*
e quindi: v* = - vx i* - vy j* + vz k* per cui il vettore è determinato in modulo(3), direzione e verso, utilizzando le regole della somma dei vettori. Se però si devono compiere operazioni sui vettori basta farle sulle proiezioni (componenti dei vettori) anziché su quelli descritti nello spazio.

B) MOTO CURVILINEO

1) sulla circonferenza: se il moto si svolge su una circonferenza si presentano alcuni problemi particolari, che sono stati affrontati nel capitolo di Meccanica al paragrafo Moto rotatorio. In particolare in questo tipo di traiettoria è sempre presente una accelerazione: quella dovuta al cambiamento continuo nella direzione del moto, moto che avviene sulla tangente alla circonferenza. Questa accelerazione si chiama centripeta e vale ac = v2 / R essendo R il raggio della traiettoria e v la velocità del corpo sulla circonferenza (velocità costante se il moto è uniforme oppure velocità istantanea se il moto è variabile).
Per lo studio algebrico del moto è indispensabile associare alla traiettoria due versori: t* tangente alla traiettoria e n* perpendicolare ad essa in ciascun punto(4), come mostra la figura



Potremo quindi scrivere:
ac* = ac n* = (v2 / R) n*          v* = v t*          at* = at t*
L'ultima relazione è valida se il moto non è uniforme, cioè se la velocità è variabile anche in modulo, oltre che in direzione.
Se il moto sulla circonferenza è uniforme, chiamando T il periodo, cioè il tempo necessario per fare un giro, la velocità di rotazione si può scrivere
v = 2 p R / T
essendo 2 p R la lunghezza della circonferenza. Se viene percorso un generico arco definito da un angolo a, espresso in radianti, in un tempo t, la velocità è data da v = a R / t: la relazione a / t prende allora il nome di velocità angolare. Se poi nel tempo dt si percorre un arco definito da un angolo al centro da, si può definire la velocità angolare istantanea:
v = R da / dt
L'accelerazione angolare è quindi:
a = dv / dt = R d2a / dt2
2) su una curva qualunque: ricordando la definizione di cerchio osculatore vista alla pagina precedente al paragrafo 3 A, lo studio del moto si esegue sui diversi segmenti di circonferenza, tenendo conto che il raggio del cerchio osculatore è dato da:
1 / R = d2y / dx2
essendo y = f(x) l'equazione della traiettoria. Se la velocità e l'accelerazione sono variabili è data la loro equazione e quindi non dovrebbero esserci problemi, se non di pazienza nel calcolo.
3) nello spazio: il moto si studia usando i versori e i cerchi osculatori.

C) MOTO PERIODICO

Moto periodico: il moto si dice periodico se accade che lo spazio al tempo t + T è uguale a quello al tempo t, cioè S(t + T) = S(t) essendo T il periodo. E' un esempio il moto armonico, definito in questo modo
S(t) = C cos(wt + g)
dove C è l'ampiezza, w è la pulsazione e g è lo sfasamento(5) o fase iniziale. Il periodo, cioè il tempo necessario alla ripetizione del moto, è dato da
T = 2 p / w
Ricordando che il valore del coseno si ripete ogni 2 p, al tempo t + T si ha:
S(t + T) = C cos[w(t + T) + g] = C cos[w(t + 2 p / w) + g] = C cos(wt + 2 p + g) = C cos(wt + g) = S(t)
La rappresentazione grafica nel piano S e t (che rappresenta quindi la velocità) di questo moto è una sinusoide di altezza 2C e di passo (lunghezza d'onda) t = 2 p / w, come mostra la figura:



Mettendo da parte la sfasatura g il moto si svolge in questo modo: al crescere di t il corpo di massa m si sposta dal punto O verso un punto a destra, sino a raggiungere la massima distanza +C (cos(wt) = 1); a questo punto il corpo inizia un moto di ritorno (cos(wt) negativo), passa per il punto O e prosegue sino a raggiungere la massima distanza -C (cos(wt) = -1); il corpo ora inizia il moto nel verso iniziale, sino a tornare alla distanza +C, come mostra la figura seguente:



La velocità è la derivata dello spazio S e l'accelerazione è la derivata della velocità quindi sarà:
v = dS / dt = d[C cos(wt + g)] / dt = - w C sen(wt + g)
a = dv / dt = d2S / dt2 = d[- w C sen(wt + g)] / dt = - w2 C cos(wt + g) = - w2 S
Da queste espressioni si ricava che la velocità ha una variabilità w volte maggiore di quella della traiettoria, ma sfasata di 90° indietro e l'accelerazione è in fase con lo spazio ma è variabile w2 volte lo spazio, cioè le "onde" che rappresentano la velocità e l'accelerazione sono più "alte" di quelle dello spazio, come appare, anche se non in scala, nella figura. Se però 2 p / w è minore di 1 la velocità e l'accelerazione da "più grandi" diventano "più piccole".
E' questo il moto tipico del pistone dei motori, dei compressori, delle pompe alternativi, quando il movimento è studiato a partire dal punto medio fra i punti morti.
Anche w può essere variabile, dando così luogo ad una infinità di possibili moti.


(1) La legge di variazione dell'accelerazione di gravità è (Manuale Colombo):
g = 9,806056 - 0,025028 cos2f - 0,000003 h
dove f è la latitudine in gradi e h è la quota sul livello del mare. All'equatore g = 9,781 m / s2; al polo 9,831; a Roma 9,804; per i calcoli tecnici 9,81.
(2) L'angolo va sempre misurato fra la direzione positiva dell'asse e la direzione positiva della retta, muovendosi in verso antiorario, come mostra la figura:



(3) Il modulo del vettore somma è dato da:
v = (vx2 + vy2 + vz2)1/2
(4) Nel calcolo vettoriale si dimostra che la derivata di un versore è un versore ruotato di 90 ° nel verso del moto. Tenendo conto di questo teorema dimostriamo l'esistenza della accelerazione centripeta. L'espressione generale dell'accelerazione è
a = dv / dt
che, introducendo i versori, diventa in successione:
S* = S t*                   v* = dS* / dt = d(S t*) / dt = (dS / dt) t*
a* = dv* / dt = d[(dS / dt) t*] / dt = (d2S / dt2) t* + (dS / dt)2 dt* / dt = (d2S / dt2) t* + v2 n* / R
nella quale d2S / dt2 è l'accelerazione "normale" lungo la traiettoria e dt* / dt è la derivata del versore t* che vale n* / R. Ne segue che l'accelerazione lungo una circonferenza è la somma di due accelerazioni: la prima at, detta tangenziale, dipende dalla variazione del modulo, la seconda ac, detta centripeta, dipende dalla variazione di direzione. Se il moto è uniforme, cioè con modulo costante, at = 0, mentre ac è sempre presente.
(5) I valori di w t e di g devono essere angoli espressi in gradi o in radianti. Quindi w sarà espresso in ° / s o in rad / s (solitamente si chiama "velocità angolare").




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