CINEMATICA
(IN ELABORAZIONE)
Occorrono le conoscenze del capitolo di Meccanica.
INTRODUZIONE
VELOCITA' E ACCELERAZIONE
TIPOLOGIA
ESEMPI
ESEMPI:
A) CERCHIO OSCULATORE
Si chiama cerchio osculatore di una curva qualunque quel cerchio che ha un segmento in comune con la curva data. E' evidente che il cerchio osculatore ha un centro e un raggio ben definiti: il centro si trova dalla parte della concavità della curva e il suo raggio è dato dalla relazione
1 / R = d2y / dx2
nella quale y = f(x) è l'equazione della curva di cui si cerca il cerchio osculatore.
1) CIRCONFERENZA
L'equazione
x2 + y2 = R2
descrive una circonferenza con il centro nell'origine e raggio R. Applichiamo a questa curva la definizione di cerchio osculatore e verifichiamo se il risultato è corretto. Riscriviamo l'equazione della circonferenza nella forma y = f(x):
y = (R2 - x2)1/2
e facciamone la derivata prima e seconda
dy / dx = [1 / (1 / 2 - 1)] (- 2 x) (R2 - x2)(1/2 - 1) = 4 x (R2 - x2)-1/2
d2y / dx2 = 4 (R2 - x2)-1/2 - 4 x [1 / (- 1 / 2 - 1)] [- 2 x (R2 - x2)(-1/2 -1))] = 4 (R2 - x2)-1/2 - (16 x2 / 3) (R2 - x2)-3/2
Supponiamo che il raggio della circonferenza sia R = 4; calcoliamo la derivata seconda nel punto A (x = 4; y = 0) che appartiene alla circonferenza e verifichiamo se il raggio è proprio 4. Ovviamente nel punto A risulta d2y / dx2 = 0 e quindi mettendo x = 4:
4 (R2 - 16)-1/2 - (16 x 16 / 3) (R2 - 16)-3/2 = 0
1 - 64 (R2 - 16)-3 / 3 = 0
3 R6 - 12.352 = 0
R = (12.352 / 3)1/6 = 4
come si doveva dimostrare(1).
2) PARABOLA
Le parabole con il vertice nell'origine degli assi e concavità verso l'alto hanno un'equazione del tipo:
y = a x2
Troviamo il raggio del cerchio osculatore nel vertice ponendo a = 2,5. Scriviamo quindi:
dy / dx = 2 a x
d2y / dx2 = 2 a = 5
1 / R = d2y / dx2 = 5
R = 1 / 5 = 0,2
Disegnando un segmento di lunghezza y = 0,2 dal vertice dalla parte della concavità si ottiene il centro del cerchio osculatore; disegnando un cerchio con il raggio R = 0,2 si ha il cerchio osculatore.
Per avere la rappresentazione grafica(2) abbiamo usato i seguenti punti della parabola:
x = 0; y = 0;
x = ± 1; y = 2,5;
x = ± 1,5; y = 5,625;
NOTA BENE:
La figura NON è corretta perché ho adoperato due scale diverse: la scala delle x è doppia di quella delle y, per cui il cerchio dovrebbe essere rappresentato da una ellisse con l'asse orizzontale doppio di quello verticale. Aver lasciato una circonferenza è un grave errore grafico, voluto per indicare ancora una volta che la realtà fisica PUO' essere distorta dalla sua rappresentazione.
B) MOTO SINUSOIDALE
1) SMORZATO
Il moto si dice sinusoidale smorzato quando la sua ampiezza tende a diventare zero al trascorrere del tempo.
Per avere un simile moto occorre una funzione che abbia il requisito della sinusoidalità (e quindi contenga una parte come sen(t) o cos(t), cioè una funzione ripetitiva del tempo) e inoltre sia decrescente nel tempo. Una funzione ripetitiva è quella esaminata nella pagina precedente al punto C; una funzione decrescente è per esempio C / t o C / logt o C / ept. Prendiamo in esame la funzione dello spazio:
S = C e-pt cos(wt + g)
nella quale C è l'elongazione massima (massima distanza dall'origine del moto), w è la pulsazione, g è lo sfasamento(3) e p è la costante di smorzamento, cioè il "numero" sempre positivo che produce la riduzione dell'elongazione.
E' evidente che il prodotto fra una funzione di valore limitato come cos(wt + g) e una funzione rapidamente decrescente come e-pt dà luogo ad un risultato con valore decrescente. Poiché però cos(wt + g) è una funzione "a onde" il risultato è quello in figura:
Nel primo mezzo periodo si raggiunge l'elongazione massima C; nel secondo mezzo periodo si raggiunge l'elongazione C meno qualcosa, e così via, sino a quando il movimento si annulla. E' questo il moto che può assumere una massa agganciata ad una molla, o ad un elastico, lasciata andare con una certa energia: la molla si allunga assai, poi si accorcia assai, poi si allunga di nuovo ma meno di prima e così via sino a quando si ferma in posizione di riposo.
Riprendiamo l'equazione dello spazio e deriviamo una volta per trovare la velocità e due volte per l'accelerazione, togliendo per semplicità l'angolo di sfasamento(4) g per cui resta S = C e-pt cos(wt). La velocità è(5):
v = dS / dt = - C e-pt [w sen(wt) + p cos(wt)]
L'accelerazione è:
a = d2S / dt2 = d (dv / dt) / dt = d (- C e-pt [w sen(wt) + p cos(wt)]) / dt =
= p C e-pt [w sen(wt) + p cos(wt)] - C e-pt [w2 cos(wt) - p w sen(wt)] = - 2p v - (p2 + w2) S
L'ultima relazione mostra che a è costituita da due parti: la prima - 2p v dipende dalla velocità mentre la seconda - (p2 + w2) S dipende dallo spazio. Si dimostra che il periodo, cioè la distanza "temporale" fra due punti omologhi, per esempio due massimi dalla stessa parte dell'origine, è costante e pari a T = 2 p / w il che deriva dal fatto che la massa percorre spazi sempre più piccoli, ma a velocità sempre più piccole per cui alla fine il tempo impiegato è sempre lo stesso. Questo fenomeno è analogo alla legge dell'isocronismo delle piccole oscillazioni del pendolo scoperta da Galileo.
Questo tipo di moto può essere assunto dal pistone di un motore a combustione interna quando, andando ad alta velocità, si stacca la frizione e si lascia l'acceleratore: in modo rapido il pistone riduce la velocità portandosi al minimo.
2) ELICOIDALE
Il moto elicoidale è un moto circolare che si svolge sulla superficie esterna di un cilindro guadagnando quota ad ogni giro: in pratica è il moto di una massa che si muove nella "gola" di una vite.
In coordinate polari(6) l'equazione del moto è rappresentata da tre equazioni da considerare in contemporanea:
x = R cosq
y = R senq
z = hq
nelle quali R è il raggio del cilindro, h è il guadagno di quota (passo dell'elica) e q è una funzione del tempo t, cioè q = q(t).
Utilizzando i versori si può scrivere:
S* = R cosq i* + R senq j* + hq k*
La velocità è data da:
v* = (- R senq i* + R cosq j* + h k*) dq / dt
Supponendo per esempio che q = a t l'equazione del moto diventa:
S* = R cos(a t) i* + R sen(a t) j* + h a t k*
e quindi l'espressione della velocità diventa:
v* = a [- R sen(a t) i* + R cos(a t) j* + h k*]
C) ESERCIZI
1) accelerazione centripeta
Un'automobile percorre una curva di raggio R = 150 m alla velocità di 110 km / h: calcolare l'accelerazione centripeta sviluppata.
Riduciamo l'unità di misura della velocità: v = 110 km / h = 110 x 1.000 / 3.600 m / s = 30,6 m / s. L'accelerazione centripeta vale:
ac = v2 / R = 30,62 / 150 = 6,24 m / s2
2) forza centrifuga
Calcolare il "peso aggiuntivo" della testa del guidatore per effetto della forza centrifuga. La forza centrifuga ha l'espressione Fc = - m v2 / R = - m ac, quindi la forza che agisce sulla testa, supponendo che abbia una massa di 10 kg, vale:
Fc = - m ac = - 10 x 6,24 = - 62,4 N = - 62,4 / 9,81 kgp = 6,36 kgp
Questo "peso" è orizzontale e si deve sommare vettorialmente con il "peso normale" Pn = 10 kgp come appare nella figura:
dando come modulo risultante:
P = (Fc2 + Pn2)1/2 = (6,362 + 102)1/2 = 11,85 kgp
Questa forza non è verticale ma inclinata dell'angolo a = arcos(Pn / P) = arcos(10 / 11,85) = 32°,44 rispetto alla verticale. Questo risultato rende conto degli stiramenti muscolari del collo dei piloti di formula 1, i quali viaggiano a velocità grandi; nell'ultimo anno questi piloti sono stati obbligati a portare un "poggiatesta" laterale per ridurre tali stiramenti.
3) inseguimento
Un'automobile viaggia alla velocità costante v1 = 90 km / h. Un'altra automobile parte dopo 36 minuti con una accelerazione costante di 0,4 m / s2 per t2 = 2 minuti. Calcolare: a) la velocità raggiunta dalla seconda automobile e lo spazio percorso; b) la distanza percorsa dalla prima automobile prima che si metta in moto la seconda; c) quanto tempo dura l'inseguimento; d) la distanza che deve percorrere la seconda per raggiungere la prima.
a) v2 = a t = 0,4 x 2 x 60 = 48 m / s = 48 x 3.600 / 1.000 = 172,8 km / h
S2 = a t22 / 2 = 0,4 x (2 x 60)2 / 2 = 2.880 m = 2,88 km
b) S0 = v0 t = 90 x 36 / 60 = 54 km
c) quando la seconda automobile raggiunge la prima vuol dire che hanno percorso la stessa distanza, cioè si trovano alla stessa S; la seconda dopo aver raggiunto la velocità v2 prosegue di moto uniforme
S = S0 + v0 t = S2 + v2 t
L'incognita è t; sostituendo i valori noti e ordinando si ottiene:
54 + 90 t = 2,88 + 172,8 t
82,8 t = 51,12
t = 51,12 / 82,8 = 0h,62 = 0h,62 x 60 / 100 min = 37 min
d) S = S2 + v2 t = 2,88 + 172,8 x 0,62 = 110 km
Osservazioni: la seconda automobile ha velocità quasi doppia della prima, quindi percorre 100 km mentre la prima ne percorre 50; poiché il vantaggio iniziale è di 50 km, ovviamente viene raggiunta dopo mezz'ora al centesimo chilometro.
4) precipito!
Un corpo cade da un aereo che vola in orizzontale alla velocità v0 = 600 km / h dalla quota h = 4.000 m. Calcolare: 1) il tempo ta impiegato a cadere e la velocità va di arrivo al suolo nell'ipotesi di assenza della resistenza dell'aria; 2) la traiettoria percorsa.
1) supponendo di essere a 40° di latitudine, l'accelerazione di gravità alla quota di 4.000 m vale
g1 = 9,806056 - 0,025028 cos2f - 0,000003 h = 9,806056 - 0,025028 x cos80 - 0,000003 x 4.000 = 9,802 - 0,012 = 9,790 m / s2
quota (m) |
4.000 |
3.000 |
2.000 |
1.000 |
suolo |
media |
g (m/s2) |
9,790 |
9,793 |
9,796 |
9,799 |
9,802 |
9,796 |
Assegnando a g il valore medio costante dei valori calcolati, cioè:
gm = (9,790 + 9,793 + 9,796 + 9,799 + 9,802) / 5 = 9,796 m / s2
il tempo di caduta è:
S = gm (ta)2 / 2 = 4.000 m
ta = (2 S / gm)1/2 = (2 x 4.000 / 9,796)1/2 = 28,58 s
la velocità di arrivo al suolo è:
va = gm ta = 9,796 x 28,58 = 279,94 m / s
2) la traiettoria si ottiene componendo il moto verticale di caduta con il moto orizzontale posseduto dal corpo al momento di lasciare l'aereo, come mostra la figura a:
Poiché abbiamo escluso la resistenza dell'aria per effetto della velocità iniziale il moto orizzontale ha l'espressione S1 = v0 t, mentre quello verticale è uniformemente accelerato di equazione S2 = gm t2 / 2. Mettendoci nel piano x, z e usando i versori avremo:
S* = S1* + S2* = v0 t i* + gm t2 / 2 k*
Poiché lo spazio percorso è una funzione quadratica del tempo, la traiettoria è rappresentata da una parabola, del tutto simile a quella percorsa da un proiettile sparato da un'arma da fuoco (o da una freccia o da un sasso). Graficamente possiamo procedere in questo modo: nel piano t, S con l'origine nel punto iniziale di caduta e l'asse S orientato verso il basso, la scrittura v0 t i* è rappresentata da una retta inclinata dell'angolo a = arctang(v0) rispetto all'orizzontale, mentre la scrittura gm t2 / 2 è una parabola con asse verticale e concavità verso il basso (figura b). Costruiamo le due curve e, punto per punto dell'asse t, facciamo la somma vettoriale: il diagramma così ottenuto è quello che cerchiamo.
Calcoliamo i rispettivi valori per t = 5; 10; 15; 20; 25; 28,58 secondi:
t (s) |
5 |
10 |
15 |
20 |
25 |
28,58 |
S1 (m) |
833 |
1.668 |
2.500 |
3.334 |
4.167 |
4.764 |
S2 (m) |
122 |
490 |
1.102 |
1.959 |
3.061 |
4.000 |
Ecco nella figura seguente la traiettoria costruita con i dati della tabella (la scala non è certo esatta):
Come si vede dalla figura il punto di arrivo si trova a 4,764 km dal punto di caduta (in assenza di resistenza dell'aria). Il problema di determinare la resistenza dell'aria è estremamente complicato perché essa dipende dalla velocità, per cui le formule risolutive si avvolgono su se stesse (la resistenza dipende dalla velocità e la velocità dipende dalla resistenza), per cui è risolvibile soltanto con prove pratiche. Il problema è anche complicato dal fatto che, al crescere della velocità, la resistenza tende ad equilibrare la forza di gravità (se la sezione maestra è sufficientemente grande), riducendo ulteriormente la velocità di caduta e la distanza del punto di arrivo.
D) IL PENDOLO
Il pendolo è costituito da una massa m obbligata a muoversi, sotto l'azione del suo peso m g, lungo archi di una circonferenza di raggio l, circonferenza determinata da un'asta di lunghezza appunto l.
Il moto è rotatorio per cui valgono tutte le relazioni relative: in particolare essendo S = l q risulta at = l d2q / dt2. Il moto è determinato dalla componente tangenziale della forza P = m g, cioè Pt = m g senq.
La condizione di equilibrio, in assenza di attriti, si scrive m a* = P* essendo P* la forza attiva, nel nostro caso Pt*. Sostituendo si ottiene:
m l d2q / dt2 = m g senq
Se gli angoli di oscillazione sono così piccoli che al posto di senq si può scrivere(7) q, l'equazione diventa m l d2q / dt2 = m g q. Dividendo tutto per l, semplificando m, ponendo g / l = w2, si ottiene un'equazione integrabile due volte, e perciò in successione:
d2q / dt2 = g q / l = w2 q
q = C cos(wt + g)
come nel caso del moto oscillatorio (vedi la pagina precedente paragrafo C). Il periodo anche qui vale
T = 2 p / w = 2 p (l / g)1/2
che dice che il moto del pendolo, nelle condizioni dette più su, è un moto periodico con periodo costante (isocronismo delle piccole oscillazioni) e non dipende dalla massa.
E) CIRCONFERENZA E MOTO ARMONICO
Consideriamo un punto P che si muove di moto circolare uniforme su una circonferenza. Le proiezioni di P sul diamtro orizzontale x e verticale y sono:
x = R cosq
y = R senq
Chiamando g l'angolo dal quale inizia l'osservazione del moto (sfasamento), chiamando T il periodo, cioè il tempo impiegato dal punto P a compiere un angolo giro completo 2 p, al trascorrere del tempo sarà q = 2 p / T e quindi:
x = R cosq = R cos(2 p / T + g)
y = R senq = R sen(2 p / T + g)
cioè si ottiene un moto oscillatorio, detto armonico, come quello visto al paragrafo precedente.
(1) In realtà il risultato è R = 4,00346... per effetto dell'estrazione della radice sesta.
(2) La figura lascia a desiderare perché ho adoperato Power point e Paint che non sono certo i migliori strumenti di disegno.
(3) Lo sfasamento rappresenta quello spostamento angolare che è avvenuto prima che iniziassimo l'osservazione del moto: infatti per t = 0 risulta
S = C e0 cos(wt + g) = C eo cos(0 + g) = C cos(g)
(4) In questo modo lo studio del moto inizia con la massa nel punto di massima elongazione, cioè per t = 0 è S = C. Infatti per t = 0 risulta:
S = C e-pt cos(wt) = C eo cos(0) = C x 1 x 1 = C
(5) Ricordiamo che la derivata di e-pt è:
de-pt / dt = - p e-pt
(6) Si chiamano coordinate polari quelle che individuano la posizione di un punto P, sia nel piano che nello spazio, attraverso una distanza da un punto O (raggio vettore R) e gli angoli, come a, del raggio vettore rispetto ad una (o tre) direzione prefissata come appare nella figura:
In pratica, nella situazione in figura, risulta:
Rx = RO cosa
Ry = RO cosb
Rz = R cosg
essendo RO la proiezione di R sul piano orizzontale, cioè RO = R cosd. Note le componenti si ha poi R = (Rx2 + Ry2 + Rz2)1/2.
(7) Gli angoli vanno espressi in radianti. Facciamo qualche esempio:
sen(p/100) = 0,0314 |
sen(p/50) = 0,0628 |
sen(p/10) = 0,309 |
sen(p/5) = 0,588 |
p/100 = 0,0314 |
p/50 = 0,0628 |
p/10 = 0,314 |
p/5 = 0,628 |
Ricordiamo che: pr = 180°
INTRODUZIONE
VELOCITA' E ACCELERAZIONE
TIPOLOGIA
ESEMPI