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(vedi il paragrafo Il torchio idraulico)
Si tratta di due problemi che vanno sotto il nome di idrostatica in quanto non si richiede che il liquido sia in moto. Storicamente Pascal
segue Archimede di 2.000 anni, ma il suo teorema deve precedere per dimostrare quello più antico (enunciato per intuizione geniale).
Teorema di Pascal. Enunciato: la pressione esercitata in un punto qualunque di un liquido incomprimibile, si trasmette inalterata in tutti gli altri punti del liquido. Per esemplificare: agendo con un pistone sulla superficie di un liquido, la pressione esercitata dal pistone si trasmette a tutto il liquido contenuto nel cilindro.
Ci occuperemo di tre questioni: 1) pressione; 2) spinta; 3) energia.
1) pressione. La pressione p in un punto di un liquido dipende da due parametri: affondamento h e peso specifico g(*).
Produrre una sovrappressione con un pistone che esercita una forza S, è come far crescere il livello del liquido nel cilindro da h a h + Dh e quindi in tutti i punti la pressione diventa
In pratica è ciò che accade per tutti i recipienti non ermeticamente chiusi per effetto della pressione atmosferica pa(**).
2) spinta. Se facciamo un buco sulla parete del cilindro, il liquido esce con una velocità (e quindi una energia) tanto maggiore quanto maggiore è l'affondamento h (vedi nella figura a sinistra gli zampilli 1, 2 e 3). Questo fatto ci suggerisce che il liquido esercita una forza, che chiameremo spinta(***), sulla parete del recipiente ed è la stessa in tutte le direzioni se l'affondamento è lo stesso. Se si aggiunge una spinta S ulteriore, tutte le velocità di uscita dai buchi crescono allo stesso modo, e ciò costituisce il teorema di Pascal.
3) energia. Il liquido che esce dai fori è una massa in movimento e perciò possiede una energia cinetica Ec = m v2 / 2. Si dimostra che la velocità di uscita (velocità torricelliana) vale: v = (2 g h)1/2, con un coefficiente correttivo f (questo simbolo si legge "fi") che tiene conto della forma del foro e della resistenza dell'aria e vale fra 0,96 e 0,98; l'espressione quindi diventa:
Teorema di Archimede. Enunciato: un corpo immerso in un fluido riceve una spinta, dal basso verso l'alto, pari al peso del volume di fluido spostato. Per esemplificare: un corpo, del volume di 1 metro cubo, immerso in acqua riceve una spinta, dal basso verso l'alto, pari ad una tonnellata.
Ci occuperemo di due questioni: 1) condizione di equilibrio di un corpo immerso; 2) condizione di equilibrio di un corpo galleggiante.
1) corpo immerso. Il corpo, di peso specifico gc, immerso nel liquido di peso specifico g sia un cubo di lato a con gli spigoli orizzontali e verticali. Il volume è V = a3 e il peso Pc = gc V = gc a3.
Le spinte S sulle facce verticali sono a due a due uguali e contrarie (opposte) e quindi si equilibrano.
La spinta sulla faccia superiore vale Ss = p A = g h a2; quella sulla faccia inferiore vale Si = p A = g ( h +a ) a2.
Affinché il cubo resti in equilibrio nella posizione della figura di destra, la somma delle forze verticali deve essere zero, cioè Ss + P - Si = 0. Sostituendo le loro espressioni abbiamo:
cioè gc = g.
Il significato di questa relazione è: affinché il cubo resti in equilibrio il suo peso specifico deve essere uguale a quello del liquido nel quale si trova immerso. A prima vista ciò significa che i pesci e i sottomarini devono essere fatti di acqua (e gli aerostati di aria)!
La soluzione è nel peso specifico apparente: se il cubo non è pieno il volume è sempre a3, ma il peso P è minore. E' allora possibile, giocando su volume e peso, fare in modo che
I sottomarini vanno su e giù cambiando il peso (imbarcano o espellono acqua); i pesci vanno su e giù cambiando il volume per mezzo della vescica natatoria e i palloni aerostatici riscaldando l'aria o immettendo altro idrogeno o elio.
2) corpo galleggiante. La soluzione trovata al punto precedente, risolve anche il problema qui affrontato. Le spinte orizzontali sono sempre equilibrate, e rimangono attive solo la spinta verticale e la forza peso. Per l'equilibrio basta che
nella quale Ao è la proiezione orizzontale della superficie immersa (in pratica è la sezione del galleggiante alla linea di galleggiamento) e hm è l'affondamento medio dello scafo e quindi g hm è la pressione media sulla parte immersa dello scafo. Ne segue che aumentado il carico P sul galleggiante esso tende ad affondare. Nelle navi però lo scafo è a sezione crescente verso l'alto, per cui, man mano che cresce l'affondamento cresce anche la sezione di galleggiamento e quindi la spinta di Archimede che contrasta il carico. Naturalmente quando la nave è piena la spinta non riesce più a tenere l'equilibrio.
Negli scafi inaffondabili ci sono degli spazi non riempibili di acqua, di volume tale da generare una spinta maggiore del peso dello scafo stesso: esso si rovescia ma rimane a galla, offrendo un punto d'appoggio per i naufraghi. Nelle navi ci sono delle porte (porte stagne) che, una volta chiuse, impediscono all'acqua di riempire tutto lo scafo. Purtroppo la chiusura delle porte stagne è spesso aleatoria ...(****)
(*) La pressione è sempre forza fratto superficie. Mettiamo dell'acqua in un bicchiere cilindrico di altezza h e volume V: sul fondo agisce la forza - peso G del liquido distribuita sulla superficie A del fondo del bicchiere. La pressione quindi vale:
essendo V = h A il volume del cilindro.
(**) La pressione atmosferica equivale a quella esercitata da una colonna di mercurio alta 76 cm, oppure da una colonna di acqua dolce alta 10,33 m, oppure da una colonna di olio d'oliva alta 11,35 m, oppure ... Per trovare le equivalenze, noto il peso specifico dell'acqua (gacqua = 1.000 [ kgp / m3] ) e quello della sostanza in esame (olio d'oliva golio = 910 [ kgp / m3] ), se ne fa il rapporto e si ottiene il coefficiente per il quale si deve moltiplicare il numero 10,33 per trovare l'altezza della colonna di quel liquido. Per l'olio quindi si ha holio = ( gacqua / golio ) 10,33 = ( 1.000 / 910 )
x 10,33 = 11,35 m. Se nel cilindro c'è olio d'oliva, per tener conto della pressione atmosferica, basta pensare che il livello dell'olio sia cresciuto di 11,35 m e quindi sopra il liquido ci sia il vuoto.
(***) La spinta S è la forza F che deriva dal fatto che il liquido esercita una pressione p sulle superfici che tocca. Ne segue che la spinta sarà definita da:
(****) Al momento dell'incidente, gli uomini, specialmente quelli di macchina che si trovano sotto la linea di galleggiamento, pensano a salire in coperta dove si trovano le lance di salvataggio, non certo a chiudere le porte stagne.