casa
astrofisica
sito itn
errori
giovanni38@tiscali.it
radiazione solare
meccanica
termodinamica
generatori vapore

ACQUA ROTANTE

PROBLEMA: mettiamo dell'acqua in un cilindro rotante sul suo asse.
Come si dispone l'acqua dentro il cilindro?


Immaginiamo di mettere in un cilindro di vetro un poco di acqua e poi di metterlo in rotazione intorno al suo asse in posizione verticale. All'inizio, con cilindro fermo, l'acqua si dispone con quota uniforme h rispetto al pelo libero. Durante la rotazione per effetto della forza centrifuga il liquido migra verso la parete laterale vuotando la parte centrale: quale forma assume la superficie libera dell'acqua? La risposta immediata sarebbe: l'acqua si dispone in modo uniforme sulle pareti del cilindro formando un altro cilindro in quanto la forza centrifuga agisce nello stesso modo su tutto il liquido (figura A).
Il calcolo mostra invece che la superficie libera del liquido è una parabola (figura B).
Infatti la forza centrifuga non è l'unica forza agente.
Chiamiamo Q la forza centrifuga e P il peso. Per effetto del peso si sviluppa la pressione p che è crescente verso il basso con la legge p = g h. La pressione produce su ciascun elemento di superficie del liquido una forza S che prende il nome di spinta. Quando il liquido è in quiete su ciascuna delle sue molecole agisce il peso P verticale e verso il basso.
Durante la rotazione si aggiunge la forza centrifuga Q per cui ciascuna molecola è soggetta all'azione risultante R di P e Q. La forza R non può che essere perpendicolare a ciascun elemento superficiale del liquido, altrimenti si avrebbe uno scivolamento verso il basso, e quindi ha lo stesso significato della spinta S.
Poiché(1) Q = P r w2 / g, anche R sarà una funzione quadratica. Dimostriamolo.
Chiamiamo dL un arco infinitesimo del profilo libero del liquido in rotazione; dL avrà una componente verticale dy e una orizzontale dx. Il triangolo P - Q - R e il triangolo dy - dx - dL sono simili e quindi per il teorema di Talete sarà (essendo r = x):


dy : Q = dx : P         dy = Q dx / P = P r w2 dx / g P = w2 x dx / g

Se la velocità di rotazione è costante, integrando una volta avremo:


y = w2 x2 / 2 g + k = w2 r2 / 2 g + k

essendo k la costante di integrazione. L'equazione così determinata è proprio quella di una parabola con l'asse verticale. Detto D il diametro del cilindro il volume Vp del paraboloide (cioè il volume del vuoto che ha per perimetro la parabola, verde nella figura) vale la metà del volume Vc del cilindro che ha la stessa base p D2 / 4 e altezza metà z / 2. Quindi avremo:


Vc = (p D2 / 4) (z / 2) = p D2 z / 8 = Vp

il che significa che il liquido inizialmente arrivava alla quota della linea tratteggiata nella figura B (che è chiaramente sbagliata).
Come avviene il fenomeno? Prendiamo in esame una molecola sul pelo libero: la forza centrifuga la spinge verso la periferia e, poiché il liquido è incomprimibile, non potendo penetrare dentro le altre molecole deve dirigersi dove c'è spazio a disposizione, cioè verso l'alto. Ora la molecola che stava sotto quella precedente si trova in superficie e quindi anch'essa può guadagnare quota. Ma ciò non può accadere per tutte le molecole in quanto quelle che stanno sotto subiscono l'azione del peso di quelle superiori. Non potendo tutte salire lungo le pareti, ecco che le molecole si dividono in strati, ciascuno in equilibrio, ma diverso da strato a strato. Le molecole che stanno sul fondo non partecipano al moto di arrampicamento, mentre quelle che stavano in superficie si arrampicano di più.




















(1) Ricordiamo che la forza centrifuga vale Fc = m ac = m v2 / r = (P / g) w2 r essendo v = w r la velocità periferica.