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TEOREMA DI BERNOULLI: GLI SCAMBI DI ENERGIA

SE UNA FORMA DI ENERGIA CRESCE, UN'ALTRA DIMINUISCE.

E', questa, una immediata conseguenza del principio di conservazione dell'energia applicato all'idraulica. Vediamo alcuni casi riferiti a due sezioni di una condotta percorsa da un liquido ideale(*), nelle condizioni di validità del teorema di Bernoulli. Nelle figure il verso di percorrenza è da sinistra a destra; la linea dei carichi totali è in rosso; la linea piezometrica è in blu; tutte le quote vanno prese dall'asse del tubo.
1) tubo orizzontale, sezione costante: in questo caso le tre forme di energia sono assolutamente costanti lungo la condotta e le linee rappresentative sono entrambe orizzontali (fig.1); infatti:

z1 = z2;       v12 / 2 g = v22 / 2 g       essendo       v1 = v2;       quindi       p1 / g = p2 / g.

2) tubo orizzontale, sezione variabile: in questo caso l'energia cinetica cresce dove il diametro è minore e diminuisce dove il diametro è maggiore, per cui la linea piezometrica assume l'aspetto di una spezzata, più distante dalla linea dei carichi totali (che è sempre e solo orizzontale!) dove il diametro diminuisce, più vicina dove il diametro aumenta (fig.2);

z1 = z3;        ma       v12 / 2 g > v32 / 2 g       essendo       v1 > v3;       quindi       p1 / g < p3 / g.
Il contrario accade fra le sezioni 4 e 2.

3) tubo in salita, sezione costante: in questo caso l'energia cinetica è costante e quindi la linea piezometrica è orizzontale; diminuisce però la sua distanza dall'asse del tubo per cui l'energia di pressione diminuisce di quanto aumenta l'energia potenziale. Possiamo scrivere infatti (fig.3):

z1 < z2;       v12 / 2 g = v22 / 2 g       essendo       v1 = v2;       quindi       p1 / g > p2 / g.
L'aumento di quota si è verificato a spese della pressione.

4) tubo in salita, sezione variabile: in questo caso (come nel caso 2) l'energia cinetica cresce dove il diametro è minore e diminuisce dove il diametro è maggiore, per cui la linea piezometrica assume l'aspetto di una spezzata, più distante dalla linea dei carichi totali dove il diametro diminuisce, più vicina dove il diametro aumenta ; inoltre (come nel caso 3) diminuisce la sua distanza dall'asse del tubo per cui l'energia di pressione diminuisce di quanto aumenta l'energia potenziale. Possiamo scrivere quindi (fig.4):

z1 < z3;       v12 / 2 g > v32 / 2 g       essendo       v1 > v3;       quindi       p1 / g > p3 / g.
Il contrario accade fra le sezioni 4 e 2. Per effetto della diminuzione della velocità, fra le sezioni 3 e 4 si ha un recupero parziale di pressione.

5) tubo in discesa, sezione costante: in questo caso (come nel caso 3) l'energia cinetica è costante e quindi la linea piezometrica è orizzontale; aumenta però la sua distanza dall'asse del tubo per cui l'energia di pressione aumenta di quanto diminuisce l'energia potenziale (l'inverso del caso 3). Possiamo scrivere infatti (fig.5):

z1 > z2;        v12 / 2 g = v22 / 2 g       essendo       v1 = v2;        quindi       p1 / g < p2 / g.
La diminuzione di quota si è trasformata in aumento di pressione.

6) tubo in discesa, sezione variabile: in questo caso (come nel caso 2) l'energia cinetica cresce dove il diametro è minore e diminuisce dove il diametro è maggiore, per cui la linea piezometrica assume l'aspetto di una spezzata, più distante dalla linea dei carichi totali dove il diametro diminuisce, più vicina dove il diametro aumenta; però (come nel caso 5) aumenta la sua distanza dall'asse del tubo per cui l'energia di pressione aumenta di quanto diminuisce l'energia potenziale. Possiamo scrivere quindi (fig.6):

z1 > z3;        v12 / 2 g > v32 / 2 g       essendo       v1 > v3;        quindi       p1 / g < p3 / g.
Il contrario accade fra le sezioni 4 e 2. Per effetto della diminuzione della velocità, fra le sezioni 3 e 4 si ha un ulteriore aumento di pressione.

(*) Nel caso del liquido reale, valgono le stesse considerazioni e quasi le stesse figure, purché si ricordi che la linea dei carichi e la piezometrica sono inclinate verso il basso nel senso del moto.