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LA FLESSIONE RETTA

DEFINIZIONE: si ha flessione quando la forza è perpendicolare all'asse della trave e passa per esso(a).
DESCRIZIONE: la trave A - B di lunghezza l è semplicemente appoggiata agli estremi A e B ed è caricata nel punto medio C con una forza concentrata F diretta verso il basso; di conseguenza la trave si inflette (si piega) producendo una freccia(b) f in mezzeria. Le reazioni VA e VB sono verticali, dirette verso l'alto e valgono F / 2.
LA DEFORMAZIONE : nelle condizioni suddette la trave si deforma secondo un arco di circonferenza che ha la trave originaria come corda. Si ammette comunemente che, se la trave è nel campo della elasticità del materiale di cui è fatta, l'asse non si deforma, cioè mantiene inalterata la sua lunghezza e quindi, nota la lunghezza l e la freccia f è possibile calcolare il raggio r di curvatura:

r = ( l2 + 4 f2 ) / 8 * f

Le sezioni come D ruotano nella posizione come D' di un angolo variabile da 0 (al centro) ad un massimo amax alle estremità A e B. La rotazione delle sezioni è l'elemento fondamentale per il calcolo delle dimensioni(c) della trave. E' infatti ovvio dire che la rotazione delle sezioni è tanto minore quanto più "grossa" è la trave e quanto più "forte" è il materiale di cui è fatta.

IL MOMENTO FLETTENTE : poichè le sezioni ruotano, deve esserci una causa, cioè una azione rotante: essa è il momento flettente Mf, cioè il momento delle forze esterne e delle reazioni rispetto alla sezione che si sta studiando. Nella sezione D la reazione VB produce un momento Mf = VB * (B-D) in verso antiorario(d) come mostra la figura. Cambiando la posizione del punto D lungo l'asse, cambia il valore del momento flettente Mf: si costruisce allora un diagramma del momento flettente che riporta, punto per punto, in una data scala, il suo valore rappresentato da un segmento.

LE AZIONI INTERNE : per produrre la rotazione della sezione D, possiamo immaginare che sul bordo superiore della sezione agiscano delle forze che "spingono" e sul bordo inferiore "tirano". Queste forze si chiamano sforzi interni s e hanno le dimensioni di una pressione(e). In totale accade che gli sforzi che spingono producono un accorciamento della trave (sforzi di compressione) e quelli che tirano producono un allungamento (sforzi di trazione), per cui infine la faccia ABCD verticale diventa A'B'C'D' inclinata e la trave, da parallelepipeda diventa tronca come nella figura di destra, lo spigolo E-A diventa E-A' e lo spigolo F-D diventa F-D', il tutto ruotando intorno all'asse n-n, detto "asse neutro".
Le azioni + s (di trazione) e - s (di compressione) costruiscono un doppio diagramma triangolare che ha lo zero proprio sull'asse neutro.
CALCOLO DELLA SEZIONE : le dimensioni della sezione si ricavano utilizzando l'espressione

s = Mf * y / J £ samm

nella quale y rappresenta la distanza fra il il generico punto della sezione e l'asse neutro, samm è la massima azione che il materiale può sopportare con sicurezza e J è il momento di inerzia della sezione.
Alla quantità W = J / y si da il nome di "modulo di resistenza a flessione" per cui la relazione precedente si può scrivere: s = Mf / W £ samm.
L'ANGOLO DI ROTAZIONE: l'angolo di cui ruotano fra loro le estremità della trave è dato da q = Mf * L / E * J, dove L è la lunghezza della trave fra le sezioni in esame ed E è il modulo di elasticità longitudinale, valido per la flessione, per la compressione e per la trazione.

(a) Se la forza non passa per l'asse, non si ha flessione ma torsione.
(b) La freccia è la distanza fra un punto dell'asse della trave non deformata e l'analogo punto della trave deformata.
(c) Il dato geometrico di partenza per la trave è la sua lunghezza l: le altre due dimensioni, larghezza b e altezza h, devono essere calcolate e rappresentano lo scopo del progetto.


(d) Partendo da sinistra l'azione rotante totale è Mf = VA * (A-D) - F * (C-D), che deve produrre lo stesso effetto, per cui diremo che le azioni provenienti da destra devono essere uguali a quelle provenienti da sinistra, altrimenti la trave sarebbe "rotta".
(e) Una forza F qualunque si distribuisce uniformemente su tutta l'area della sezione, producendo in ogni punto uno sforzo interno di reazione. In prima approssimazione si può scrivere

s = F / A = F / b * h