DIAGRAMMA DEL MOMENTO FLETTENTE

DESCRIZIONE: riprendiamo la trave esaminata al capitolo LA FLESSIONE e tracciamo il diagramma del momento flettente, cioè il diagramma che rappresenta con un segmento, punto per punto, il valore del momento che produce la rotazione delle sezioni. Nel punto A c'è la reazione V_A, nel punto B c'è la reazione V_B e in mezzeria c'è la forza esterna F.
I momenti si ottengono dal prodotto fra le forze che si trovano a destra (oppure a sinistra) della sezione in esame (per esempio la sezione D) e la distanza tra la forza e la sezione (per esempio B - D). Nell'esempio risulta, supponendo di bloccare la sezione D e prendendo le forze a destra:

M_D = V_B * (B - D)

CONVENZIONE DI SEGNO: il momento si considera positivo se le forze di sinistra girano in senso orario e le forze di destra girano in senso antiorario.
Se avessimo preso le forze a sinistra di D (che fanno girare la trave, rispetto alla sezione D, V_A in senso antiorario e F in senso orario), avremmo scritto:

M_D = V_A * (A - D) - F * (C - D)

che ha esattamente(a) lo stesso valore calcolato prima.
Il valore di M_D si riporta sotto la sezione D. Per la sezione C si ottiene M_C = V_A * (A - C) = V_B * (B - C). Ripetendo il calcolo per tutte le sezioni della trave si ottiene il diagramma in figura.
CONVENZIONE GRAFICA: il diagramma del momento flettente si disegna dalla parte delle fibre tese, cioè dalla parte dove la trave si allunga.
SOLUZIONE ANALITICA: prendiamo per comodità un asse orizzontale X con l'origine nel punto A e orientato verso destra. Allora tutte le distanze da A si possono esprimere come valori di X e quindi ad esempio A-D sarà X_D e A-C sarà X_C, ecc.
Allora il momento nel punto C, prendendo le forze di sinistra, diventa: M_C = V_A * X_C = V_A * l / 2, e, in un punto qualunque E fra A e C, M_E = V_A * X_E. Per il punto D qualunque fra C e B, sarà

M_D = V_A * X_D - F * ( X_D - l / 2 ).

Scritte così, le relazioni M_E = V_A * X_E e M_D = V_A * X_D - F * ( X_D - l / 2 ) diventano equazioni di primo grado nelle incognite M_E e M_D e perciò rappresentate come segmenti di rette, come sono nel disegno.
Nel primo tratto, da A a C, il coefficiente angolare è V_A e la retta passa per l'origine poichè manca il termine noto. Per il secondo tratto, da C a B, mettiamo in evidenza X_D e troviamo M_D = X_D * ( V_A - F ) + F * l / 2 e quindi il coefficiente angolare è V_A - F(b) e la retta torna verso lo 0 in B. Infatti in B si ha M_B = 2 * l / 2 * ( F / 2 - F ) + F * l / 2 = l * ( - F / 2 ) + F * l / 2 = 0.
Il diagramma del momento flettente è un triangolo con un vertice "verso il basso" perchè le fibre tese sono quelle inferiori e i valori sono tutti positivi, per effetto delle convenzioni fatte prima.

(a) Infatti (essendo V_A = V_B = F/2) si ha : F/2 * (A-D) - F * (C-D) = F/2 * (B-D); riducendo allo stesso denominatore F * (A-D) - 2F * (C-D) = F * (B-D); portando 2F * (C-D) al secondo membro si ottiene: F * [ (A-C) + (C-D) ] = 2F * (C-D) + F * (B-D); semplificando F * (C-D) ai due membri, resta F * (A-C) = F * (C-D) + F * (B-D); mettendo in evidenza F al secondo membro si ricava: F * (A-C) = F * [(C-D) + (B-D)]; ma (C-D) + (B-D) è uguale a (C-B) e, poichè C è in mezzeria, risulta F * (A-C) = F * (C-B).
(b) Il coefficiente angolare V_A - F è negativo perchè V_A è la metà di F.