LA TORSIONE
(vedi Progetto di un albero motore e Progetto di un albero di trasmissione)

DEFINIZIONE: la torsione è la sollecitazione che si verifica quando la forza applicata è perpendicolare all'asse ma non passa per esso. Tipico è il caso di una chiave che agisce su un dado in un bullone, oppure quello della biella che agisce sull'albero motore, oppure quello del giravite sulla testa di una vite.
DESCRIZIONE: una trave cilindrica di lunghezza L e diametro D, è incastrata a sinistra in una parete. A destra è saldato un braccio sul quale agisce (verso il fondo della figura) una forza F che fa ruotare la trave in senso orario di un angolo a. La forza F produce quindi un momento M = F * b. Poichè l'estremità sinistra è bloccata e non può ruotare, l'angolo di torsione varia dal valore a a destra, sino a 0 a sinistra. Se immaginiamo di disegnare sulla superficie della trave un segmento rettilineo, lo vedremo avvolto ad elica dell'angolo a.
Guardando la sezione (figura a destra) vediamo il diametro, inizialmente verticale, ruotato dell'angolo a in verso orario. Man mano che ci avviciniamo all'incastro, la rotazione diminuisce sino ad annullarsi.

LE AZIONI INTERNE: consideriamo il diametro verticale: poichè esso ruota, vuol dire che i suoi punti sono soggetti ad una forza interna (tangenziale perchè si tratta appunto di una rotazione!), che prende il nome di t (tau) ed ha le dimensioni di una pressione (N/mm² oppure kg/cm²). L'angolo di rotazione (angolo di torsione) è ovviamente lo stesso per tutto il diametro, mentre l'arco percorso dai suoi punti varia dal massimo sulla circonferenza, a zero al centro della trave.
Poichè l'arco è variabile, è variabile anche l'azione interna t, dal massimo in periferia sino a zero al centro. Si ottiene allora per le azioni t un diagramma a "farfalla" (come quello delle s di flessione) simmetrico rispetto al centro. Il materiale reagisce a queste t con reazioni uguali e contrarie che infine costituiscono una coppia interna di momento opposto a quello F*b calcolato in precedenza. Al momento dell'equilibrio la coppia esterna e quella interna sono uguali.
ATTENZIONE: le t sono come descritto e disegnato solo se il materiale è nel campo elastico, per cui si ammette che i diametri restano rettilinei e le sezioni restano piane, cosa non sempre vera(a).
CALCOLO: il valore di t, punto per punto del diametro, è dato da

t = M_t * r / J_p

nella quale M_t è il momento torcente (nel nostro caso F*b), r è la distanza del punto dal centro e J_p è il momento d'inerzia polare(b) della sezione.
Il valore massimo si ha alla periferia e quindi t_max = M_t * (D/2) / J_p. Se chiamiamo t_amm il massimo valore ammissibile con sicurezza nella trave avremo

t_amm £ t_max = M_t * (D/2) / J_p

cioè saremo certi del funzionamento sino a quando t_max non supera t_amm.
PROGETTO: per le sezioni circolari J_p = p * D⁴ / 32, per cui otteniamo nelle condizioni di massima utilizzazione del materiale t_amm = M_t * (D/2) / p * (D⁴ / 32) = 16 * M_t / p * D³. Al momento del progetto sono noti sia M_t sia t_amm e quindi l'unica incognita è D, cioè

D = [ 16 * M_t / p * t_amm ]^1/3

Se la sezione è cava (la trave è un tubo) le incognite diventano due: il diametro esterno D e quello interno d. Per risolvere il problema bisogna conoscere lo spessore della parete s = (D-d)/2 oppure il rapporto fra i due diametri, per esempio d = 0,8D. In questo caso il momento di inerzia polare diventa:

J_p = p * (D⁴ - d⁴) / 32 =p * [D⁴ - (0,8D)⁴] / 32 = p * [D⁴ - 0,4096D⁴] / 32 = p * 0,5904D⁴ / 32

E infine sarà

t_amm = M_t * 16 / p * 0,5904D³;        D = [ 16 * M_t / 0,5904 * p * t_amm ]^1/3

Calcolato D, si trova d = 0,8 D e il progetto è terminato(c).
ANGOLO DI TORSIONE: si è detto che le fibre ideali del materiale (anche l'acciaio si può "pensare" costituito di fili immaginari strettamente legati fra loro) si avvolgono su se stesse come i fili di una fune, per cui le sezioni ruotano l'una rispetto all'altra. L'angolo di cui ruotano è dato dall'espressione

a^r = M_t * L / J_p * G

nella quale: a^r è l'angolo di torsione espresso in radianti; J_p è il momento di inerzia polare della sezione; G è il modulo di elasticità a torsione. Solitamente si impone che a^r non superi un certo valore, altrimenti il materiale si deforma permanentemente o addirittura si rompe. Di questo fatto noi approfittiamo spesso: poichè la resistenza a torsione è minore di quella ad altre azioni, per rompere certi oggetti li "avvolgiamo", raggiungendo più facilmente lo scopo.

(a) Se prendiamo un cilindro di gomma e lo torciamo, vedremo che le estremità si deformano andando a costruire delle superfici semisferiche, indicando che ovviamente le fibre interne si "avvolgono" (e quindi si accorciano) di meno di quelle esterne (che restano più lunghe). Se l'angolo di torsione è piccolo, il fenomeno è assolutamente trascurabile.
(b) J_p si ottiene sommando i momenti di inerzia J calcolati rispetto a due assi perpendicolari fra loro e passanti per il polo della rotazione, in questo caso coincidente con il centro della sezione.
(c) In realtà mancano ancora due fasi: 1) cercare sulle tabelle delle industrie produttrici i diametri D e d più vicini per eccesso ai valori calcolati (non sempre è conveniente far costruire appositamente per noi con le misure trovate; costa di meno usare le misure standard); 2) eseguire il calcolo di verifica con i diametri effettivamente scelti, anche per controllare che non si siano fatti errori di calcolo.