DEFINIZIONE: dati due vettori A e B la loro somma R è un vettore i cui parametri (modulo, direzione e verso) dipendono da quelli di A e B ma non sono la loro addizione. In particolare se a è il modulo di A e b il modulo di B, il modulo r di R non è r = a + b; lo è solo se A e B sono paralleli e nello stesso verso.
CONVENZIONE: per comodità di scrittura indicheremo con lettere maiuscole (A, B, ...) i vettori e con le stesse lettere minuscole (a, b, ...) i loro moduli. Adopereremo solo la rappresentazione grafica, essendo il calcolo vettoriale con il metodo analitico (numeri complessi) di pertinenza del corso di Matematica(a).
PROBLEMA: dati i vettori (figura 1) A, B, C, D, E, F determinare il vettore risultante R .

SOLUZIONE: procediamo per fasi:
1^a fase: utilizziamo la "regola del parallelogramma" sui vettori A e B (figura 2) e otteniamo il risultante R (b). Per ottenerlo abbiamo tracciato 5 linee: quattro per costruire il parallelogramma (lati a due a due uguali e paralleli) e la diagonale.
2^a fase: poichè i lati opposti sono uguali, possiamo risparmiarci di disegnarli, ponendo i vettori A e B uno di seguito all'altro (figura 3), in modulo, direzione e verso, e quindi quella che nella figura precedente era la diagonale ora è il lato di chiusura del triangolo, orientato dall'origine di A al vertice di B. Come si ricava dalla figura, R è esattamente uguale a quello ottenuto prima.
3^a fase: procediamo gradualmente come nella fase 2 (figura 4): la somma A+B ci da R'; la somma R'+C ci da R''; la somma R''+ D ci da R''', ecc. Uando sempre lo stesso criterio alla fine troviamo R come lato di chiusura del poligono che ha per lati i vettori A, B, ecc. orientato dall'origine del primo al vertice dell'ultimo. Il poligono così costruito si chiama "poligono delle forze" perchè viene normalmente utilizzato con le forze, le quali "graficamente" hanno l'aspetto di vettori.
CASI PARTICOLARI:
differenza: definiamo come vettore "opposto" di A il vettore "-A" che ha lo stesso modulo e la stessa direzione di A ma il verso opposto (figura 5). Se l'operazione da compiere fosse A - B, basta scrivere A + (- B) e quindi sommare A con l'opposto di B, eliminando così l'operazione differenza(c).
poligono chiuso: se il poligono delle forze risulta chiuso, cioè il vertice dell'ultimo vettore coincide con l'origine del primo, allora il risultante vale zero.
poligono intrecciato: la somma dei vettori sino al punto di intreccio è zero e quindi il risultante è ancora dall'origine del primo al vertice dell'ultimo.
vettori paralleli: la regola non cambia; l'unica difficoltà è quella della comprensione del disegno: conviene disegnare i vettori affiancati anzichè sovrapposti e disegnare anche il risultante a fianco invece che sopra gli altri.

(a) I numeri complessi, del tipo a + i*b, essendo i = (-1)^1/2, cioè la radice quadrata di -1 (detto "numero immaginario"), vengono trattati su un piano cartesiano nel quale sulle ascisse (detto "asse reale") si riportano i numeri reali come "a" e sulle ordinate (detto "asse immaginario") i numeri immaginari come "b", per cui i vettori si ottengono attraverso i loro componenti.

La somma (a+ib) + (c+id) diventa quindi [(a+c) + i(b+d)] il cui modulo non è (a+c) ma (applicando il teorema di Pitagora) [(a+c)² + (b+d)²]^1/2, ben diverso da(a+c)!
(b) L'articolo qui utilizzato è "il" poichè è riferito a "vettore" il cui genere è maschile! Quando si parlerà di forze si dirà "la risultante".
(c) E' questa la stessa procedura utilizzata con i numeri relativi: 34 - 56 diventa 34 + (- 56).