LA FLESSIONE DEVIATA

DEFINIZIONE: si ha flessione deviata quando la forza applicata è perpendicolare all'asse, passa per esso, ma è inclinata rispetto ai lati della sezione. Nell'arcareccio della figura la forza F è verticale mentre i lati della sezione non lo sono.
PROBLEMA: noti i carichi provenienti dal tetto (compresi quelli accidentali), determinare la sezione degli arcarecci.
DISCUSSIONE: scomponiamo la forza F secondo due direzioni perpendicolari ai lati della sezione. Avremo: F' = F * cosa e F'' = F * sena. Finchè ci troviamo nel campo elastico dei materiali è valido il principio di sovrapposizione degli effetti e quindi potremo dire che l'arcareccio deve resistere alla somma delle due azioni di flessione dovute a F' e F''.

CALCOLO: chiamiamo X l'asse orizzontale che contiene F'' e Y l'asse verticale che contiene F'. Diciamo b la larghezza dell'arcareccio e h la sua altezza.
Se ci fosse solo F' si avrebbe s_Y = M'*y/J'; se ci fosse solo F'' si avrebbe s_X = M''*x/J''(a); poichè sono presenti contemporaneamente sarà:

s = s_X + s_Y £ s_amm

Poniamo: F = 2.000 [N]; a = 30°; b = 10 [cm] = 100 [mm]; h = 15 [cm] = 150 [mm]; s_amm = 3 [N/mm²] (legno); l = 70 [cm] = 700 [mm] (distanza per il calcolo dei momenti, per ipotesi la metà della distanza fra le travi sulle quali poggiano i travetti).
Otterremo(b): F' = 2.000*cos30° = 1.732 [N]; F'' = 2.000*sen30° = 1.000 [N]; M' = F' * l = 1.732*700 = 1.212.000 [N*mm]; M'' = F'' * l = 1.000*700 = 700.000 [N*mm]; J' = b * h³ / 12 = 100*150³ / 12 = 28.125.000 [mm⁴]; J'' = h * b³ / 12 = 150*100³ / 12 = 12.500.000 [mm⁴]; x = b /2 = 100/2 = 50 [mm]; y = h / 2 = 150/2 = 75 [mm].
Sostituendo:

s = s_X + s_Y = 700.000 * 50 / 12.500.000 + 1.212.000 * 75 / 28.125.000 = 2,8 + 3,23 = 6,03 [N/mm²] £ 3 [N/mm²]

Come si vede il risultato ottenuto è "falso", cioè l'ipotizzata sezione non è sufficiente. Infatti non abbiamo condotto un calcolo di progetto bensì di verifica, come se disponessimo già del legname per gli arcarecci e avessimo voluto constatare di poterlo adoperare in questa situazione. Ora possiamo preseguire in due modi: 1) eseguire il calcolo di progetto e comprare il legname "giusto"; 2) avvicinare fra loro le travi (vedi figura) in modo da ridurre la distanza l e quindi i momenti M' e M'' sino a quando risulti s £ s_amm.
Seguiamo la seconda via.
L'incognita è ora l, cioè l'interasse fra le travi. Riprendiamo le espressioni dei momenti flettenti scrivendo: M' = 1.732 l e M'' = 1.000 l.Poiché le dimensioni non sono cambiate J' e J'' sono gli stessi, cioè J' = 12.500.000 [mm⁴] e J'' = 28.125.000 [mm⁴]. Anche x ed y sono gli stessi, cioè x = 50 [mm] e y = 75 [mm]. Naturalmente adopereremo il materiale al limite delle sue capacità, cioè metteremo s_amm = 3 [N/mm²].
Scriveremo quindi:

s = 1.000 * l * 50 / 12.500.000 + 1.212 * l * 75 / 28.125.000 = 0,004 * l + 0,003232 * l = 3 [N/mm²]

Abbiamo ottenuto un'equazione di primo grado nell'incognita l che possiamo ora ricavare:

0,007232 * l = 3;                             l = 3 / 0,007232 = 414,8 [mm]

Possiamo concludere dicendo che, per utilizzare il legname, dobbiamo porre le travi ad un iterasse di 400 mm, cioè 40 cm.

(a) Quando la forza è F' l'asse neutro è parallelo al lato b e la distanza del punto più lontano da esso è y = h/2 essendo misurato lungo l'asse Y. Quando la forza è F'', le parti si invertono e si ha x = b/2.
(b) Ricordiamo che il momento d'inerzia per una sezione rettangolare vale b*h³/12, essendo b la larghezza e h l'altezza della sezione. Se il punto di vista ruota di 90°, l'espressione diventa h*b³/12.