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come si adopera la curva di Gauss? a cosa serve il valore medio? che fine fanno gli scarti?
la teoria degli errori non fornisce certezze, ma probabilità di non superare un certo errore
Abbiamo già visto un esempio di adattamento della curva di Gauss. Ora la riprendiamo per vederne l'interpretazione applicativa. Interpreteremo la curva in due modi fra loro complementari: 1) come curva di frequenza misurata come quota sull'asse f; 2) come curva di probabilità p misurata come area sottesa dalla curva.
1) curva di frequenza: il punto A della figura ci assicura che gli errori compresi fra - 2 s e + 2 s si presentano con la frequenza f = 73,44 % e il punto B ci assicura che gli errori compresi fra - 4 s e + 4 s si presentano con la frequenza f = 12,25 %.
2) curva di probabilità: se non si accettano misure esterne a - 5 s e + 5 s, l'area compresa fra la curva e l'asse delle s rappresenta la certezza, cioè il 100 % di probabilità di non commettere errori superiori a + 5 s e inferiori a - 5 s.
Diciamo allora che la probabilità di non commettere errori superiori a + 4 s e inferiori a - 4 s è di circa p = 98 %. Infatti dall'area totale (100 %) dobbiamo togliere solo le aree estreme a destra e a sinistra (tratteggiate verso il basso a destra). Invece la probabilità di non commettere errori superiori a + 2 s e inferiori a - 2 s è di circa p = 70 % (area tratteggiata verso il basso a sinistra).
Abbiamo visto che la somma degli scarti deve essere il più vicino possibile a zero, e ciò può accadere sia che essi siano piccoli sia che essi siano grandi. Se sommiamo però i quadrati degli scarti, otteniamo un valore assoluto indipendente dal segno e quindi di valore ben diverso per scarti piccoli o grandi(*).
Prendiamo la somma degli scarti del paragrafo relativo:
Sdi =
+ 0,05 - 0,02 + 0,13 - 0,10 - 0,07 = - 0,01 m.
Facciamo la somma dei quadrati: Sdi2 = + 0,0025 + 0,0004 + 0,0169 + 0,0100 + 0,0049 = + 0,0347 m2.
Naturalmente lo scarto misurato in metri quadrati non ha significato: estraiamo quindi la radice quadrata del risultato:
Questo valore complessivo deve essere suddiviso fra i confronti delle misure effettuate, cioè su n - 1 = 5 - 1 = 4 e quindi:
Il numero fra parentesi lo utilizziamo per l'approssimazione per eccesso e otteniamo infine:
Confrontando questo risultato con gli scarti scritti sopra, osserviamo che lo scarto massimo di + 0,13 m è minore di + 3 s e quindi è perfettamente accettabile(**).
e inoltre non si è scritta l'equazione della curva di Gauss.
(*) Prendiamo l'esempio sviluppato nella nota al paragrafo sugli scarti: nel primo caso gli scarti sono - 1 m e + 1 m; la somma dei quadrati è 2 m2; nel secondo caso gli scarti sono - 0,001 m e + 0,001 m; la somma dei quadrati è 0,000.002 m2, enormemente più piccola.
(**) Se nel contratto stipulato con l'operatore avessimo scritto di accettare solo le misure con scarti inferiori a 2 s = 0,10 m, avremmo pagato solo 4 operazioni. Poiché il nostro geometra sostiene delle spese (viaggi, assistente) egli avrebbe subito un danno economico.