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PROGETTO DI UNA COPPIA DI RUOTE DENTATE.
(seguendo la traccia di un esercizio proposto da A. AGOSTI - MANUALE DI MECCANICA - LATTES - 1981)
NOTA BENE:
lo svolgimento è stato effettuato con le unità di misura del Sistema Pratico.
Potenza da trasmettere N = 22 CV; materiale per la costruzione acciaio C 40 UNI 5332 con sR = 70 kg / mm2; calettamento della ruota con chiavetta; numero di giri ruota motrice n1 = 280 giri / 1'; rapporto di trasmissione t = 2,5 / 1 = 10 / 4; diametro ruota motrice D1 = 150 mm; angolo della retta d'azione q = 20°.
figura tratta da: A. Agosti - Manuale di meccanica - Lattes - 1981
1) NOMENCLATURA
Rapporto di trasmissione è il coefficiente di amplificazione o di riduzione della velocità di rotazione fra le ruote dentate che si trasmettono il movimento. Definito il numero n1 di giri al minuto della prima ruota (ruota motrice) ciascuna coppia di ruote può essere moltiplicatrice se il numero di giri cresce, riduttrice se il numero di giri diminuisce. Il rapporto si esprime come t = n1 / n2.
La velocità periferica si calcola nel punto di contatto fra le circonferenze primitive, cioè nel punto di contatto fra due ideali ruote di frizione che realizzano lo stesso rapporto di trasmissione, ovvero fra le circonferenze non ancora munite di dentatura (vedi figura).
Ricordando l'espressione della velocità periferica(*) v1 = 2 p R n / 60, considerando P0 appartenente alla ruota motrice sarà v1 = 2 p R1 n1 / 60; considerandolo appartenente alla ruota mossa (o condotta) v2 = 2 p R2 n2 / 60. Poiché il punto P0 non può avere due velocità, sarà v1 = v2.
Sostituendo, ricordando che 2 R = D, e facendo il rapporto si ottiene:
v1 / v2 = 1 = 2 p R1 n1 / 60 / 2 p R2 n2 / 60 dalla quale si ricava t = n1 / n2 = D2 / D1
Poiché la circonferenza è coperta da un numero intero di denti, il loro numero z si ricava dicendo che z è proporzionale alla lunghezza della stessa circonferenza o alla lunghezza del diametro. Infatti a meno della costante p risulta D = 2 R; c = 2 p R. Sarà quindi z1 = k D1 e z2 = k D2 e quindi z1 / z2 = D1 / D2 cioè fra i numeri dei denti c'è la stessa proporzione che fra i diametri.
Ricordando che la velocità angolare è(**) w = 2 p n / 60 si ottiene come prima t = w1 / w2
Riassumendo:
t = n1 / n2 = D2 / D1 = z2 / z1 = w1 / w2
Evolvente è la curva che si genera quando una circonferenza rotola su un'altra in modo che una retta prefissata (la retta d'azione o di spinta) sia sempre perpendicolare al segmento percorso dal punto di contatto P0.
Cerchio di testa o troncatura esterna è la circonferenza che limita verso l'esterno i denti: diametro Da.
Cerchio primitivo o circonferenza primitiva (definito in precedenza): diametro D.
Cerchio di piede del dente o troncatura interna è la circonferenza che limita in basso l'altezza dei denti: diametro Dd.
Passo(***) p della dentatura è la distanza fra due punti omologhi di due denti adiacenti.
Spessore del dente è l'arco di primitiva coperto dal dente.
Vano è l'arco di primitiva vuoto fra due denti: sarà occupato dal dente della ruota compagna.
Larghezza s del dente è la larghezza della corona che porta i denti.
Altezza h del dente è la distanza fra le due troncature.
Costa del dente è la distanza fra la troncatura esterna e la primitiva.
Fianco del dente è la distanza fra la primitiva e la troncatura interna.
Modulo m è il rapporto fra il diametro primitivo D e il numero di denti z: quasi sempre le ruote dentate vengono proporzionate usando come unità di misura proprio il modulo, cioè il modulo viene utilizzato per esprimere gli elementi geometrici del dente:
m = D / z = p / p
2) CALCOLO
t = n1 / n2 = D2 / D1
n2 = n1 / t = 280 / 2,5 = 112 giri / 1'
D2 = t D1 = 2,5 x 150 = 375 mm
Velocità periferica delle ruote (punto P0 di contatto fra le circonferenze primitive):
v = p D1 n1 / 60 = p x 150 x 280 / 60 = 2.200 mm / s = 2,2 m / s
La forza tangenziale dovuta al momento torcente(****) e che produce la rotazione dell'albero vale:
Ft = 716.200 N / D1 n1 /2 = 716.200 x 22 / 150 x 280 / 2 = 750 kg
Con un coefficiente di sicurezza 10 risulta samm = s / 10 = 70 / 10 = 7 kg / mm2
Determinazione del modulo con il metodo a resistenza(*****).
Immaginiamo il dente come una trave incastrata nella ruota e soggetta al carico della forza tangenziale Ft (vedi figura). Adoperando la progettazione della dentatura diritta con profilo ad evolvente con il sistema modulare, le dimensioni del dente sono:
passo: p = p m
altezza del dente: h = m + 1,25 m = 2,25 m
spessore del dente: g = p / 2 = p m / 2
larghezza del dente (ipotesi): b = 10 m
La sezione resistente è quindi A = g s sulla quale agisce il momento flettente M = Ft h
Il momento di inerzia della sezione è J = s h3 / 12
La distanza dall'asse neutro della fibra più sollecitata è y = s / 2
Possiamo quindi scrivere:
s = M y / J = Ft h s / 2 s h3 / 12 = 6 Ft / h2 £ samm = 7 kg / mm2
Sostituendo i valori otteniamo
m = (6 Ft / h2 samm)1/2 = (6 x 750 / 2,252 x 7)1/2 = 11,3 mm arrotondato 12 mm
passo: p = p m = p x 12 = 37,68 mm
altezza del dente: h = m + 1,25 m = 2,25 m = 2,25 x 12 = 27 mm
spessore del dente: g = p / 2 = p m / 2 = 37,68 / 2 = 18,84 mm
larghezza del dente (ipotesi): s = 10 m = 10 x 12 = 120 mm
La sezione resistente è quindi A = g s = 18,84 x 120 = 2.261mm2
sulla quale agisce il momento flettente M = Ft h = 750 x 27 = 20.250 kg mm
Il momento di inerzia della sezione è J = s h3 / 12 = 120 x 273 / 12 = 196.830 mm4
Per la ruota motrice
Il numero dei denti z1 = D1 / m = 150 / 12 = 12,5 arrotondato 13
Il diametro primitivo della ruota motrice diventa quindi
D1 = m z1 = 12 x 13 = 156 mm
Per la ruota mossa
z2 = D2 / m = 375 / 12 = 31,25 arrotondato 32
Il diametro primitivo della ruota mossa diventa quindi
D2 = m z2 = 12 x 32 = 384 mm
I numeri dei denti sono primi fra loro(******) e quindi li accettiamo.
Il rapporto di trasmissione diventa t = z2 / z1 = 32 / 13 = 2,46
La velocità di rotazione della ruota mossa diventa n2 = n1 / t = 280 / 2,46 = 113,82 giri / 1'
La velocità periferica delle ruote (punto P0 di contatto fra le circonferenze primitive):
v = p D1 n1 / 60 = p x 156 x 280 / 60 = 2.286 mm / s = 2,29 m / s
Elementi geometrici del dente e delle circonferenze per la loro costruzione: RUOTA MOTRICE
altezza della costa (addendum) ha = m = 12 mm
altezza del fianco (dedendum) hd = 1,25 m = 1,25 x 12 = 15 mm
diametro di testa (troncatura esterna) Da = D1 + m = 156 + 12 = 168 mm
diametro di piede (troncatura interna) Dd = D1 - 1,25 m = 156 - 1,25 x 12 = 141 mm
Elementi geometrici del dente(*******) e delle circonferenze per la loro costruzione: RUOTA MOSSA
altezza della costa (addendum) ha = m = 12 mm
altezza del fianco (dedendum) hd = 1,25 m = 1,25 x 12 = 15 mm
diametro di testa (troncatura esterna) Da = D2 + m = 384 + 12 = 396 mm
diametro di piede (troncatura interna) Dd = D2 - 1,25 m = 384 - 1,25 x 12 = 369 mm
I denti si scambiano una forza F diretta secondo la retta d'azione t inclinata dell'angolo q = 20° che è sempre perpendicolare al profilo ad evolvente del dente. Poiché il diametro della ruota motrice è cambiato, dobbiamo calcolare di nuovo:
Ft = 716.200 N / D1 n1 /2 = 716.200 x 22 / 156 x 280 / 2 = 721 kg
Scomponendo la forza Ft che produce la rotazione è possibile(********) calcolare:
a) la forza radiale Ff da sommare o sottrarre al peso della ruota: Ff = Ft tangq = 721 tang20 = 262 kg
b) la forza F agente sulla retta d'azione: F = Ft / cosq = 721 / cos20 = 767 kg
(*) La velocità periferica è quella di un punto che si trova sulla circonferenza di raggio più grande. Per definizione la velocità è il rapporto fra lo spazio S percorso e il tempo t impiegato a percorrerlo. Un punto che percorre una intera circonferenza copre uno spazio 2 p R; se percorre n circonferenze lo spazio è 2 p R n; se il tempo impiegato è 60 secondi la velocità è proprio S / t = 2 p R n / 60 [m / s].
(**) Vedi il paragrafo moto rotatorio 1 nel capitolo di Meccanica.
(***) Il numero dei denti è z distanti fra loro p e quindi la circonferenza è lunga p z; ma la circoferenza è anche p D; quindi sarà p z = p D, cioè D / z = p / p. Per definizione m = D / z = p / p.
(****) I denti si toccano in un solo punto (sempre nel punto P0 in prima approssimazione) e quindi la forza agente è sempre Ft. Di conseguenza il momento torcente è Mt = Ft R = Ft D / 2.
(*****) In questo modo siamo certi che il dente è in grado di sopportare le azioni di flessione indotte dalla forza Ft. Si può completare il calcolo facendo la verifica a taglio, supponendo che Ft sia applicata al piede del dente. Quindi in successione avremo: t = Ft / A = Ft / g s = 750 / 2.261 = 0,33 kg / mm2 £ tamm = (4 / 5) samm = (4 / 5) x 7 = 5,6 kg / mm2
Poiché la disuguaglianza è verificata (0,33 < 5,6) il dente è verificato anche rispetto al taglio.
(******) Una data coppia di denti sarà di nuovo a contatto dopo 13 x 32 = 416 giri; si è certi così che tutti i denti della motrice andranno a contatto con tutti i denti della mossa e di conseguenza l'usura sarà distribuita in modo uniforme.
(*******) Le dimensioni dei denti di motrice e mossa sono le stesse perché i denti dell'una devono "entrare" nei vani dell'altra ruota.
(********) Ricordiamo che l'operazione F = Ff + Ft è una operazione vettoriale per cui NON si possono sommare i moduli (vedi il capitolo Meccanica esempio 3): in tutti i triangoli un lato è sempre minore della somma degli altri due:
