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L'equazione della sfera con il centro nell'origine di una terna di assi cartesiani x, y, z e raggio R si scrive:
e possiamo dire che la sfera è il luogo dei punti che soddisfano l'equazione scritta. In altre parole, presi tre numeri e sostituitili ad x, y e z, se l'equazione è soddisfatta significa che quei tre numeri sono le coordinate di un punto della sfera.
Prendiamo ora l'equazione di stato dei gas perfetti p v = R T. In questo caso la terna di assi cartesiani si chiama p, v e T. Prendiamo tre numeri e li sostituiamo nell'equazione: se questa è soddisfatta significa che i tre numeri rappresentano valori di pressione, volume e temperatura compatibili con l'esistenza di un certo gas perfetto. Di conseguenza possiamo disegnare sulla superficie che rappresenta l'equazione di stato un punto 1 che ha come coordinate i tre numeri suddetti. Se ora prendiamo altri tre numeri che soddisfano ugualmente l'equazione, abbiamo le coordinate di un altro punto 2.
Nelle condizioni descritte diremo che abbiamo effettuato una TRASFORMAZIONE TERMODINAMICA DALLO STATO 1 ALLO STATO 2 . Naturalmente ciò è vero solo in termini geometrici; se stiamo lavorando veramente con un gas, le condizioni fisiche cambiano gradualmente dalla situazione 1 alla 2, ciascuna rappresentata da un punto sulla superficie p v = R T. Le successioni di valori di p, v e T sono infinite e quindi infiniti sono i "percorsi geometrici" che portano da 1 a 2. Ciascuna successione di valori rappresenta una trasformazione termodinamica fra 1 e 2, qualcuna più facile qualcuna più difficile da eseguire realmente.
E' inutilmente complicato lavorare direttamente sulla superficie p v = R T per cui si preferisce lavorare sulle tre proiezioni ortogonali di tale superficie, cioè sui piani (p, v), (T, v) (T, p), in particolare sul primo (p, v) che è il piano del lavoro termodinamico(1). Inoltre fra tutte le possibili trasformazioni se ne studiano alcune particolari perché di utilità applicativa più semplice. Le prime che esamineremo sono: a) isobara; b) isoterma; c) isocora; d) isoentropica o adiabatica; e) politropica.
a) isobara: è la trasformazione a pressione costante e perciò sarà p1 = p2. Scrivendo l'equazione di stato nei due punti e dividendo membro a membro, si ottiene in successione:
questo risultato ci assicura che nelle trasformazioni isobare volume e temperatura variano nello stesso verso, cioè l'aumento dell'uno determina l'aumento dell'altra.
Nel piano (p, v) l'isobara è ovviamente rappresentata da una linea orizzontale; l'area compresa fra il segmento (1, 2) e l'asse v misura il lavoro L svolto (o assorbito) dal gas a causa della variazione di volume.
b) isoterma: è la trasformazione a temperatura costante e perciò sarà T1 = T2. Scrivendo l'equazione di stato nei due punti e dividendo membro a membro, si ottiene in successione:
questo risultato ci assicura che nelle trasformazioni isoterme pressione e volume variano in verso opposto, cioè l'aumento dell'una determina la diminuzione dell'altro.
Nel piano (p, v) l'isoterma è rappresentata da una iperbole equilatera della quale si considera solo il ramo nel primo quadrante; nella figura è rappresentata in rosso. Anche qui il lavoro è misurato dall'area sottesa (cioè che si trova sotto) da un segmento (1, 2) della curva che la rappresenta.
c) isocora: è la trasformazione a volume costante e perciò sarà v1 = v2. Scrivendo l'equazione di stato nei due punti e dividendo membro a membro, si ottiene in successione:
questo risultato ci assicura che nelle trasformazioni isocore pressione e temperatura variano nello stesso verso, cioè l'aumento dell'una determina l'aumento dell'altra.
Nel piano (p, v) l'isocora è ovviamente rappresentata da una linea verticale; il lavoro L vale 0 a causa della non variazione del volume (è nulla l'area sottesa dalla trasformazione).
d) isoentropica o adiabatica: è la trasformazione che avviene ad entropia costante ovvero senza scambio di calore (Q = cost e quindi DQ = 0: nella figura appare in blu) ed è rappresentata da una equazione del tipo
Ce ne occuperemo in un altro paragrafo.
e) politropica: è la trasformazione che avviene senza alcuna particolarità, la più generica che determina variazione di temperatura, pressione e volume del gas. E' rappresentata da una equazione del tipo
dove l'esponente "a" può assumere valore variabile da segmento a segmento di una trasformazione dallo stato 1 allo stato 2.
1) Altri piani usatissimi sono quello entropico (T, S) che permette di evidenziare gli scambi di calore e quello entalpico (I, S) che permette di evidenziare il contenuto totale di energia del fluido. Entrambi sono ad esempio indispensabili nello studio delle trasformazioni che interessano i vapori.