PROGETTO DI UN ALBERO DI TRASMISSIONE
(IN ELABORAZIONE)

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LA LINEA ELASTICA

La linea elastica di una trave deformata da un carico è la "forma" che assume l'asse per effetto dei carichi applicati. Tale forma è rappresentata da una equazione più o meno complessa che tiene conto della elasticità e del momento d'inerzia oltre che, ovviamente, dei carichi.
Il calcolo prende le mosse da due definizioni che non dimostreremo:
1) l'inverso del raggio di curvatura della linea elastica vale la derivata seconda della stessa linea elastica
1 / r = d2h / dx2
2) l'inverso del raggio di curvatura vale la deformazione indotta dal momento flettente
1 / r = M / E J
Se si conosce, come accade quasi sempre, l'equazione del momento flettente corrente, cioè l'espressione del momento flettente punto per punto della trave, uguagliando le due espressioni scritte si ha una equazione differenziale spesso integrabile due volte. Il risultato delle integrazioni è appunto l'equazione della linea elastica. Nelle operazioni di integrazione nascono delle costanti il valore delle quali dipende dalle condizioni ai limiti, per esempio la conoscenza di valori certi per la curva.
Riprendiamo la situazione illustrata nella pagina precedente alla nota (*) riguardante il solo carico distribuito (vedi figura):



Mx = M1x + M2x = q l x / 2 - q x2 / 2
Scriveremo quindi:

d2h / dx2 = (q l x / 2 - q x2 / 2) / E J = (q / 2 E J) (l x - x2)

nella quale: h è l'ordinata della funzione linea elastica; E è il modulo di Young per l'acciaio; J è il momento di inerzia della sezione dell'albero calcolato in precedenza.
Integrando una volta si ottiene:
dh / dx = ò (q / 2 E J) (l x - x2) dx = (q / 2 E J) (l x2 / 2 - x3 / 3) + C1
nella quale C1 è una costante di integrazione(*). Integrando una seconda volta si ottiene:
h = ò [(q / 2 E J) (l x2 / 2 - x3 / 3) + C1] dx = (q / 2 E J) (l x3 / 6 - x4 / 12) + C1 x + C2 =
= (q x3 / 12 E J) (l - x / 2) + C1 x + C2
nella quale C2 è un'altra costante di integrazione. Per completare l'equazione della linea elastica dobbiamo determinare il valore delle costanti. Essendo l'asse x coincidente con l'asse della trave con origine nel punto A, diremo che la curva elastica deve passare per i punti A e B cioè: per x = 0 deve essere h = 0 e per x = l deve essere h = 0. Abbiamo quindi due equazioni nelle quali le incognite sono appunto C1 e C2:
(q x3 / 12 E J) (l - x / 2) + C1 x + C2 = 0          ponendo x = 0 si ha          C2 = 0
(q x3 / 12 E J) (l - x / 2) + C1 x = 0          ponendo x = l si ha
(q l3 / 12 E J) (l - l / 2) + C1 l = 0          e quindi          C1 = - q l3 / 24 E J
L'equazione(**) della curva elastica diventa quindi:
h = (q x3 / 12 E J) (l - x / 2) + C1 x =
= (q x3 / 12 E J) (l - x / 2) - (q l3 / 24 E J) x
La freccia massima è in mezzeria e vale:
f = hx = l/2 = (q x3 / 12 E J) (l - x / 2) - (q l3 / 24 E J) x = (q l3 / 96 E J) (l - l / 4) - q l4 / 48 E J =
= - 5 q l4 / 384 E J
Il segno negativo dipende soltanto dall'orientamento dell'asse h: nel nostro caso h è orientato verso l'alto e quindi la freccia è negativa (confronta con quanto riportato nella pagina precedente).
La rotazione corrente delle sezioni è data da df = M dx / E J e la rotazione massima è data dall'integrale di tale rotazione corrente:
F = (1 / E J) ò (q l x / 2 - q x2 / 2) dx       dalla quale si ricava       F = (q / E J) (l x2 / 2 - x3 / 3) = (q x2 / E J) (l / 2 - x / 3) + C
nella quale C si determina dicendo che la rotazione in mezzeria, cioè per x = l / 2, vale zero(***). Ponendo tale condizione si ottiene:
per x = l / 2          (q x2 / E J) (l / 2 - x / 3) + C = 0          e quindi          C = 0
e perciò infine:
F = (q x2 / E J) (l / 2 - x / 3)


(*) Ricordiamo che eseguendo l'integrale indefinito non si ottiene LA PRIMITIVA ma una famiglia di primitive distinte fra loro dal valore di una costante da determinare con le condizioni ai limiti.
(**) L'equazione è di quarto grado e quindi ha 4 radici, cioè la curva attraversa l'asse x in 4 punti. Le prime due radici sono x1 = 0 e x2 = l; le altre due radici sono nei punti (fuori della trave!) x3 = l + 0,62 l e x4 = - 0,62 l
(***) Poiché il carico è simmetrico, la mezzeria si deforma abbassandosi ma senza che la sezione debba ruotare intorno all'asse neutro. Si può dimostrare che la tangente in tale punto è orizzontale che vuol dire h = cost. L'equazione della tangente, o meglio del fascio di tangenti alla linea elastica, è data dalla derivata prima h '; il suo coefficiente angolare si ottiene calcolando la derivata prima nel punto scelto; se la tangente è orizzontale il suo coefficiente angolare vale zero. In successione si ha:
dh / dx = (q / 2 E J) (l x2 / 2 - x3 / 3) + C1 = (q / 2 E J) (l x2 / 2 - x3 / 3) - q l3 / 24 E J
Ponendo x = l / 2
tanga = (dh / dx)x = l/2 = (q / 2 E J) [l (l / 2)2 / 2 - (l / 2)3 / 3] - q l3 / 24 E J = q l3 / 24 E J - q l3 / 24 E J = 0
Essendo tanga = 0 la tangente in mezzeria è orizzontale, cioè la sezione non ha ruotato.
La discussione si può condurre anche in modo diretto: determinare in quale punto la tangente è orizzontale, cioè determinare per quale valore di x la derivata prima vale zero. Per fare ciò scriviamo:
dh / dx = (q / 2 E J) (l x2 / 2 - x3 / 3) - q l3 / 24 E J = 0
Semplificando resta:
x3 / 3 - l x2 / 2 + l3 / 12 = 0                  4 x3 - 6 l x2 + l3 = 0
Operando con la regola di Ruffini si ottiene la scomposizione:
(4 x2 - 4 l x - 2 l2) (x - l / 2) = 0
Utilizzando la legge di annullamento del prodotto otteniamo la prima radice (quella che ci interessa):
x - l / 2 = 0          dalla quale          x1 = l / 2



Le altre radici si trovano risolvendo l'equazione di secondo grado:
4 x2 - 4 l x - 2 l2 = 0
e sono x = (l / 2) (1 ± 31/2)          cioè          x2 = - 0,36 l          x3 = l + 0,36 l
e rappresentano punti con tangente orizzontale fuori della trave, uno a destra e l'altro a sinistra, come se la trave continuasse (vedi i segmenti in nero nella figura).
La ipotetica freccia in questi due punti vale f ' = + 2,98 q l4 / E J ben 229 volte più grande di f in mezzeria (la figura non è in scala). Nei punti A e B c'è quindi un flesso.
Questo risultato illustra ancora una volta che le soluzioni matematiche dei problemi di fisica non sempre rappresentano soluzioni fisiche.