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Sabato, 28 Settembre 2002

Karl Friedrich Gauss

(Biografia tratta da Omnia 2001 - De Agostini)

matematico, astronomo, fisico e geodeta tedesco (Brunswick 1777-Gottinga 1855). Di modestissima famiglia, rivelò ben presto eccezionali doti matematiche (per cui fu in seguito soprannominato princeps mathematicorum).

All'età di dieci anni calcolò mentalmente in pochi secondi la somma dei primi 100 numeri interi positivi. Molto probabilmente capì che tale somma poteva essere facilmente calcolata sommando il primo numero con l'ultimo (1+100=101), poi il secondo con il penultimo (2+99=101) e così via. Trovò cioè la formula (100+1)100/2. Tale formula può essere facilmente estesa al caso della somma di n numeri in progressione aritmetica.

Grazie all'interessamento e agli aiuti del duca di Brunswick, poté frequentare il collegio di quella città (1792-95) e successivamente l'Università di Gottinga.

A partire dal 1796 iniziò la stesura di un diario scientifico continuato sino al 1814, che attesta, tra altri risultati conseguiti in vari campi e che G. non rese mai noti, l'inizio in quel periodo degli studi sulle geometrie non euclidee.

Nel 1799 si laureò all'Università di Helmstädt con una tesi che contiene la prima completa dimostrazione del teorema fondamentale dell'algebra. Due anni dopo completò la pubblicazione delle Disquisitiones Arithmeticae, il primo moderno trattato di teoria dei numeri che lo rese famoso nell'ambiente scientifico.

I maggiori risultati ivi contenuti concernono le proprietà delle congruenze, la scomposizione di un numero in fattori primi, la rappresentazione geometrica dei numeri complessi, la dimostrazione della legge di reciprocità dei residui quadratici, la divisione in parti uguali di una circonferenza effettuabile con riga e compasso. Nei primi anni dell'Ottocento si dedicò al calcolo delle orbite dei pianetini Cerere, Giunone e Pallade, allora appena scoperti, applicando il metodo dei minimi quadrati, da lui stesso ideato fin dal 1794 per la valutazione degli errori di misurazione, e introducendo un nuovo metodo per ricavare gli elementi di un'orbita da sole tre osservazioni. Questi risultati furono resi noti nel 1809 con la pubblicazione dell'opera Theoria motus corporum coelestium, nella quale espose in modo completo la teoria del moto dei corpi del sistema solare nel caso non solo di orbite ellittiche ma anche iperboliche e paraboliche. In questa opera trovò anche definitiva formulazione la legge degli errori.

Nel 1807 fu nominato direttore dell'Osservatorio di Gottinga con l'incarico di insegnare matematica in quell'università. A partire da quell'anno le sue ricerche di matematica cedono di volta in volta il passo, oltre che agli impegni professionali assunti, a ricerche astronomiche (1817-21), geodetiche e geometriche (1821-31), a studi di fisica-matematica e, in collaborazione con W. Weber, sull'elettromagnetismo (1831-41).

Dopo il 1841 si dedicò nuovamente a ricerche di geometria e a studi relativi alla teoria delle funzioni di variabile complessa. Riguardo alla geometria e geodesia G., partendo da problemi cartografici, elaborò la teoria della rappresentazione conforme delle superfici e stabilì il teorema secondo cui il prodotto delle curvature principali di una superficie flessibile, ma inestensibile, è costante comunque si deformi la superficie stessa (theorema egregium).

Nel campo della fisica-matematica enunciò il principio meccanico del minimo sforzo, formulò i Principia generalia theoriae figurae fluidorum in statu aequilibri (1830), compì numerosi studi sul magnetismo terrestre enunciando i teoremi generali relativi alle azioni fra poli magnetici, tra i quali le proporzioni fondamentali della teoria del potenziale, e si occupò infine di varie questioni di ottica. La cautela con cui Gauss pubblicava le sue scoperte, da un lato provocò alcune questioni sulla loro priorità (con A. M. Legendre per il metodo dei minimi quadrati, con G. Bolyai sulla scoperta della geometria non euclidea), dall'altro impegnò matematici come N. H. Abel, K. G. Jacobi, W. Hamilton in ricerche la cui soluzione era già negli scritti di Gauss, come testimoniò la loro pubblicazione avvenuta dopo la sua morte.

Approssimazione di Gauss

Nella teoria dei sistemi ottici centrati, consiste nel considerare solo raggi luminosi monocromatici incidenti ed emergenti poco inclinati rispetto all'asse del sistema e raggi di curvatura delle superfici sufficientemente grandi, in modo che i valori numerici delle funzioni sen(alfa) e tg(alfa) degli angoli alfa formati dai raggi luminosi con l'asse possono considerarsi coincidenti con il valore di alfa in radianti (condizioni di Gauss).

Legge degli errori di Gauss

È la legge relativa alla distribuzione degli errori accidentali di osservazione.

Gauss, ponendo come ipotesi che date n misure di una grandezza, la misura più probabilmente esatta della grandezza stessa è la media aritmetica della serie di misure, dimostrò che la frequenza (o probabilità) degli errori accidentali di osservazione, supposto in numero infinito, è tanto più grande quanto più l'errore è piccolo ed è massima quando l'errore è zero.

La frequenza decresce quindi al crescere del valore assoluto degli errori e decresce in modo simmetrico, cioè è la stessa sia per gli errori in più che per quelli in meno. La legge, benché intuita da studiosi precedenti come l'astronomo J. Bredley e P. S. Laplace, fu riscoperta da G. misurando la posizione degli astri.

La legge trova espressione formale nella cosiddetta distribuzione normale, rappresentata graficamente dalla curva normale o curva degli errori. Eseguendo un numero molto grande di misurazioni, gli errori accidentali non risultano distribuiti a caso, perché gli errori piccoli risultano più numerosi ed esiste un legame tra la grandezza dell'errore e la sua probabilità di commetterlo: indicando con x l'errore commesso, cioè lo scarto del valore osservato dal valore vero della grandezza misurata, che si suppone uguale alla media aritmetica dei valori trovati, la probabilità che compete a tale errore è:

y(x) = [h/sqr(pigreco)]^(-h^2x^2)

curva degli errori di Gauss, in cui h è una costante chiamata modulo di precisione, il cui valore dipende appunto dalla precisione degli strumenti usati e dall'abilità dello sperimentatore;

essa determina il valore del massimo della curva

ymax = h/sqr(pigreco) e la sua larghezza:

Gli errori sono tanto più piccoli quanto più h è grande.

Eseguendo una misurazione, la probabilità p di commettere un errore minore o uguale a una quantità a è misurata dall'area compresa tra l'intervallo [-a,+a] sull'asse delle x e la parte corrispondente di curva degli errori. L'area compresa tra la curva e l'asse x è uguale a uno, perché rappresenta la probabilità totale, cioè la certezza.

Nei calcoli interviene spesso la deviazione standard (o errore quadratico medio) sigma, definita come la radice quadrata del valor medio dei quadrati degli errori:

Facendo una misurazione, la probabilità di commettere un errore minore o uguale alla deviazione standard è del 68,3%.