Dallo schema riportato si
evidenziano alcune idee basilari:
Legenda: c= caramelle, p=pacchetti
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OPERATORE SCALARE |
OPERATORE PROPORZIONALE |
| MOLTIPL. |
|
| DIVISIONE |
- moltiplicazioni e divisioni nei problemi sono riferibili a
relazioni a quattro termini che sussistono in almeno due spazi di
misura (nel caso rappresentato "pacchetti" e
"caramelle")
- gli operatori scalari ("4 volte" e "4 parti")
collegano due grandezze omogenee, appartenenti allo stesso spazio di
misura e sono costituiti da numeri senza dimensione (4 e 5)
- gli operatori proporzionali ("5 caramelle ogni1 pacchetto"
e "1 pacchetto ogni 5 caramelle") collegano due grandezze
eterogenee, appartenenti a spazi di misura diversi e sono costituiti
essi stessi da grandezze dimensionate ("5 caramelle" e "1
pacchetto")
- gli alunni elaborano spontaneamente, per via intuitiva, l'idea di
operatore scalare; devono essere aiutati ad elaborare quella di
operatore proporzionale, rilevandone le caratteristiche che lo
differenziano e la funzione nell'individuare la dimensione della
grandezza del risultato (l'operatore "5 caramelle ogni 1
pacchetto" produce un risultato in "caramelle";
l'operatore "1 pacchetto ogni 5 caramelle" produce un
risultato in "pacchetti")
- secondo la legge di composizione binaria i problemi di
moltiplicazione indicati si possono risolvere tanto con 4x5 che con 5x4;
ma ciò vale con i numeri; i bambini, che partono dall'idea di
operazione unaria (stato-operatore-stato) devono essere aiutati a
giungere all'astrazione.
Vergnand, inoltre, propone una classificazione di problemi di
moltiplicazione e divisione con tre fondamentali
categorie:
1- ISOMORFISMO DI MISURE
Struttura che consiste in una semplice proporzionalità diretta tra
due spazi di misura. E' l'espressione matematica di un gran numero di
situazioni di vita comune: equipartizione (persone-oggetti), prezzo
fisso (merci-costi), velocità uniforme o media (spazi-tempi), densità
su una linea (alberi-distanze), ecc. Le quattro sottoclassi di questa
struttura sono quelle indicate nello schema precedente, due per la
moltiplicazione e due per la divisione.
2- PRODOTTO DI MISURE
Struttura che consiste nella composizione cartesiana di due spazi di
misura in un terzo spazio. Comprende problemi relativi al prodotto
cartesiano, all'area, al volume ed a molti concetti fisici (es. il
lavoro=forza x spostamento) ed implica almeno tre variabili (es.
lunghezza base, lunghezza altezza, estensione area). La caratteristica
di questa struttura è che le unità di misura sono del tipo 1m x 1m=
1mq, 1 ragazzo x 1 ragazza= 1 coppia, ecc.
3- PROPORZIONALITA' MULTIPLA
E' simile al prodotto di misure, salvo che per una caratteristica: il
"terzo" spazio di misure è proporzionale al "primo"
e al "secondo", ma questi sono tra loro indipendenti. Nessuna
delle grandezze implicate può essere ricondotta al prodotto delle altre
(es. consumo di cereali- numero di persone- numero di settimane). Il
tempo è spesso implicato in queste strutture come fattore diretto di
proporzionalità (consumo, spesa, produzione).
Dalla classificazione di Vergnand si ricavano almeno tre
idee importanti:
1. La struttura più elementare
(da cui partire per apprendere le idee di moltiplicazione e divisione)
è quella dell'isomorfismo di misure: proporzionalità diretta tra due
spazi di misura, rappresentabile in una semplice tabella di
corrispondenza, es.
| pacchetti |
1 |
2 |
3 |
4 |
| caramelle |
5 |
10 |
15 |
20 |
Anche matematicamente si tratta di una funzione lineare e non
bilineare, come il prodotto di misure e la proporzionalità
multipla. In questo contesto si possono approfondire le idee di
operatore scalare e proporzionale.
2.
Le
strutture che implicano tre o più spazi di misura -prodotto di misure e
proporzionalità multipla- sono importanti perché presentano casi di
proporzionalità inversa che non si trovano nell'isomorfismo di misure.
L'approccio a queste strutture più complesse, però, deve essere
graduale. Un modo è di simulare variazioni in cui una delle tre
variabili implicate, a rotazione, venga mantenuta costante, in modo da
stabilire una proporzionalità semplice (diretta o inversa) tra le due
variabili rimanenti. Ad esempio, nell'area del rettangolo:
- lunghezza della base costante: verificare le variazioni in proporzione
diretta dell'area in relazione all'altezza
- lunghezza dell'altezza costante: verificare le variazioni in
proporzione diretta dell'area in relazione alla base
- area costante: verificare le variazioni in proporzione inversa delle
lunghezze di base e altezza.
3. A
partire da queste categorie di problemi elementari e dall'idea di
rapporto (già presente nelle attività relative alla moltiplicazione ed
alla divisione) si può procedere nella costruzione dell'operatore
frazionario, sempre inteso come rapporto tra grandezze omogenee o
eterogenee: dalla tabella di corrispondenza dell'isomorfismo di misure
si ricava l'operatore frazionario scalare; dalla relazione tre 3 spazi
di misura (proporzionalità multipla) si ricava l'operatore frazionario
proporzionale.
Costruzione
dell'operatore frazionario
Si è iniziato da situazioni
problematiche come le seguenti:
a) In 5 confezioni ci sono 40
cioccolatini. Quanti cioccolatini in 9 confezioni?
RAPPRESENTAZIONE
DELLA SITUAZIONE
