Anno Scolastico 1999-2000

STRUTTURE ADDITIVE E PROBLEM SOLVING

L'attività condotta può essere suddivisa in tre fasi, le prime due riguardanti lo studio e l'approfondimento teorico dell'argomento, la terza, relativa all'azione in classe, finalizzata all'applicazione di quanto esaminato.

Selezionando dall'elenco seguente la rispettiva voce, si può prendere visione dei dettagli relativi a ciascuna delle tre fasi.

Classificazione secondo Moser

L’intervento didattico e i relativi test sono stati predisposti sulla base di una classificazione semantica di problemi verbali di addizione e sottrazione, proposta da J.M.Moser (Tavola 1) e ormai divenuta classica.

Si sono prese in esame quattro ampie classi di situazioni riconducibili ad altrettante interpretazioni intuitive dei concetti di addizione e sottrazione.

‘trasforma’

A partire da una quantità iniziale la si aumenta o la si diminuisce.I sei prototipi di problemi (tre per l’addizione e tre per la sottrazione) propongono come incognite la quantità finale, l’operatore, la quantità iniziale. Sono tutte situazioni implicanti una trasformazione. 

‘combina’

I due problemi-modello (unisci e separa) non prevedono trasformazioni perché non c’è azione. L’incognita è costituita dal tutto (addizione) o da una parte (sottrazione). Sono i prototipi proposti in modo pressoché esclusivo dall’approccio insiemistico e implicano il rapporto di inclusione (insieme-sottoinsieme proprio).

‘confronta’

Entra in gioco l’idea di differenza tra un insieme di riferimento e un insieme di confronto. I sei prototipi si articolano in modo analogo a quelli della categoria “trasforma”. A differenza della categoria ‘combina’, il rapporto tra il tutto e le parti avviene tra insiemi disgiunti. 

‘uguaglia’

Sono un ibrido fra le situazioni di trasformazione e quelle di confronto: c’è un’azione che presuppone un confronto o, se si vuole, il confronto avviene attraverso un’azione esplicitata nel testo (nei problemi ‘confronta’ l’azione è esplicitata al momento della rappresentazione dei due insiemi, nella prima fase del procedimento risolutivo, non nel testo).Se l’azione viene riferita all’insieme meno numeroso si ha un problema uguaglia/unisci, altrimenti è un problema uguaglia/separa.

 Tavola 1

L’intervento didattico è consistito essenzialmente nel proporre agli alunni situazioni di solito trascurate (soprattutto il gruppo ‘uguaglia’) e nell’abituarli a rappresentare correttamente le relazioni presenti nel testo, senza farsi trarre in inganno da espressioni verbali fuorvianti quali “di più”, “di meno”, “in tutto”, … e distinguendo la rappresentazione delle relazioni suggerite dal testo dalla rappresentazione del procedimento risolutivo (la distinzione è stata riconosciuta nella sua importanza dai docenti per primi!).

Per le situazioni di tipo dinamico e implicanti il rapporto di inclusione (problemi ‘trasforma’) è stato utilizzato un modello di operazione unaria largamente diffuso e rispondente alla rappresentazione intuitiva spontanea che i bambini hanno dell’operazione.

stato  -  operatore   -   stato

 Per le situazioni del tipo ‘combina’ (dove manca l’aspetto dinamico) si è fatto riferimento a una pluralità di modelli (tra i quali anche i diagrammi di Venn), sottolineando l’importanza di rendere gli alunni consapevoli della presenza del rapporto di inclusione.

I problemi delle classi ‘confronta’ e ‘uguaglia’ sono stati trattati in parallelo, evidenziando l’assenza del rapporto di inclusione  (insiemi disgiunti) più che l’esplicitazione o meno dell’azione nel testo. Le rappresentazioni impiegate sono del tipo

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Classificazione secondo Vergnand

Un’altra classificazione, coerente con quella presentatata, è stata proposta da Vergnand (1982). 

1.       composizione di due misure (combinazione, misura-misura-misura);

2.       trasformazione che lega due misure (trasformazione, stato iniziale-trasformazione-stato finale);

3.       relazione statica fra due misure (confronto, misura - relazione statica- misura);

4.       composizione di due trasformazioni (trasformazione- trasformazione-trasformazione);

5.       trasformazione fra due relazioni statiche (relazione statica-traformazione-relazione statica);

6.       composizione di due relazioni statiche (relazione statica- relazione statica-relazione statica)

  nelle quali però intervengono sia numeri positivi sia negativi.

I casi 1,2,3 e 5 corrispondono nella sostanza ai prototipi classificati da Moser. I casi 4, 5 e 6, invece, costituiscono esempi interessanti dove entrano in gioco esclusivamente operatori e/o relazioni, senza riferimento a stati o misure (Figure 1 e 2). Partendo da una griglia (Fig.3) si possono ricavare prototipi di problemi verbali relativi ai casi 4, 5 e 6.

Utilizzando le rappresentazioni grafiche a frecce abbiamo:

Figura 1

composizione di relazioni di tipo dinamico (es. perdere/vincere)

        Figura 2

        composizione o trasformazione di relazioni di tipo statico (avere di più/avere di meno)

          Figura 3

Collocando la domanda (?) in a, in b, o in c si ottengono 18 prototipi di problemi.

Esempio:

Situazioni dinamiche

1.1  Vince 6, vince 8; quanto ha vinto? (c?)

1.2  Quanto ha vinto nella prima partita se in tutto ha vinto 14 e nella seconda 8? (a?)

1.3  Quanto ha vinto nella seconda partita se in tutto ha vinto 14 e nella prima 6? (b?)

ecc.

Situazioni statiche

1.1  y ha 6 più di x, z ha 8 più di y; quanto ha z più di x? (c?)

1.2  z ha 8 più di y e 14 più di x; quanto ha y più di x? (a?)

1.3  y ha 6 più di x, z ha 14 più di x; quanto ha z più di y? (b?)

ecc.

Passaggio agli INTERI RELATIVI
Gli esempi di Moser si prestano a sviluppare gradualmente l'idea astratta delle classi di equivalenza di coppie ordinate di numeri (gli interi relativi, appunto). I casi 4 e 5 della classificazione di Vergnand consentono di introdurre la serie ordinata e le operazioni di addizione/sottrazione con gli interi relativi sulla retta numerica. Le due esperienze insieme costituiscono una base esperenziale e intuitiva valida per l'elaborazione formale successiva.

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Intervento didattico nelle classi

Nell’ambito della fase di formazione sono state approntate tre batterie di test (ricavati dai 20 problemi elementari della classificazione di Moser), di cui si doveva solo indicare l’operazione risolutiva (addizione o sottrazione).

Gli alunni sottoposti al test risultano così distribuiti per classi e per scuole:

 Gli esiti dei test iniziali sono stati confrontati con le stime preventive fornite dai docenti partecipanti alla  formazione con non poche sorprese riguardo a ciò che si era ritenuto più facile/difficile per gli alunni. Ogni scuola ha curato la tabulazione dei propri risultati e ne ha dato copia alle altre. Il quadro generale degli esiti a livello di distretto è stato predisposto e fornito a tutti gli insegnanti (vedi i risultati )

Una volta rilevata la situazione, iniziale, sono state meglio definite le modalità dell’intervento didattico da effettuare nei due mesi successivi. Nell’ambito dell’attività programmata per ciascuna classe  sono state inserite due ore settimanali dedicate specificamente al modulo didattico elaborato.

Sono stati esaminati anche problemi relativi a composizione di relazioni o di trasformazioni, rappresentabili con i seguenti modelli (cfr. figure 1 e 2).

I problemi di questo secondo gruppo non sono stati oggetto di test per mancanza di tempo, ma costituiscono nondimeno una tappa importante nella costruzione concettuale della serie numerica degli interi relativi.