SOLUZIONE DEL PROBLEMA N. 3

del 29 novembre 1999

Calcolare l'area della figura geometrica piana delimitata dall'arco della parabola di equazione y = f(x) (v. figura) e dall'asse delle ascisse.

Disponiamo di strumenti adeguati?

Possiamo calcolarla per approssimazione? Come?

Provate a servirvi di un foglio elettronico (o di una calcolatrice).

Soluzione: Innanzi tutto la figura è simmetrica rispetto all'asse di simmetria x = 2. Quindi ci limiteremo a calcolare l'area di metà della figura piana, quella della porzione di figura tra x = 0 e x = 2.

Una prima considerazione la si può fare osservando che la superficie è certamente minore di quella del rettangolo circoscritto, pari a 8, e maggiore di quella del triangolo inscritto, pari a 4.

Poi dividiamo l'intervallo [0,2] in 2 parti uguali e calcoliamo le somme delle aree dei rettangoli inscritti e di quelli circoscritti e la loro media. Otteniamo rispettivamente 3, 7 e 5.

Dividendo per 5 otteniamo i valori a = 4,48, A = 6,08, media = 5,28

Possiamo proseguire, suddividendo l'intervallo in un numero sempre maggiore di parti. Otteniamo in tal modo delle serie numeriche. La prima, delle aree inscritte, è certamente sempre minore o uguale dell'area della nostra figura. La seconda, delle aree circoscritte, certamente sempre maggiore o uguale.

Dalla tabella osserviamo che entrambe sembrano convergere. Osserviamo anche che la loro media aritmetica converge molto più rapidamente verso il valore 5,333333 (che, per altra via, sappiamo essere l'area della figura in questione).

Il procedimento può essere utilissimo in alcune circostanze, ma non ci soddisfa. Occorre uno strumento più potente: l'integrale.

Difficoltà?

Soluzioni dei problemi precedenti:

N. 2 del 22 novembre 1999

N. 1 del 15 novembre 1999

home