DWT

DWT  significa Discrete  Wavelet Transform, nasce dalla teoria della CWT (continua). Chiariamo due concetti sulla CWT.

E' possibile rappresentare un segnale s(t) mediante i suoi prodotti scalari con funzioni ottenute da un prototipo attraverso operazioni di traslazione e scalamento.

Questo prototipo si chiama ondina madre, poiché genera tutta la famiglia di funzioni che opereranno sulla s(t). Si noti che tali funzioni hanno tutte la stessa forma dell'ondina madre , ma durata variabile. L’operazione di scalamento:

                 f(t) -> f(t/a)                              il parametro 1/a è detto scala.

comporta che la f(t/a) per 0<a<1 sia una versione contratta rispetto l’originale, mentre per a>1 sia dilatata. Ricordiamo che questa operazione provoca anche una variazione dello spettro. Dalla proprietà della trasformata di Fourier, al segnale s(t/a) corrisponde uno spettro |a|S(af). Un aumento di scala corrisponde quindi ad un allargamento dello spettro e viceversa.

Tralasciando la parte matematica della questione (e la scelta dell'ondina), dirò soltanto che si estraggono dei coefficienti che indicano la "somiglianza" con l'ondina madre. L'informazione che si estrae è ridondante e può ricostruire perfettamente il segnale di partenza. 

Ora si può pensare a discretizzare la CWT, ma dalla teoria ricaviamo che esiste un legame tra una base ortonormale ed un banco di filtri. E’ possibile ricavare i coefficienti della scomposizione di una base tramite opportuni filtraggi.

Il banco di filtri è detto associato alla base ed è a perfetta ricostruzione.

I blocchi h0[n] e h1[n] sono filtri discreti, mentre i blocchi seguenti sono dei sottocampionatori. Con questo sistema, riusciamo a mantenere lo stesso rate e  a scomporre il segnale x[n] in due termini Y0[k] e Y1[k]. In questo senso tale banco è detto di analisi, poiché scompone il segnale. Duale a questo esiste un banco detto di sintesi. Se il banco complessivo è ben progettato riusciamo a scomporre un segnale col banco di analisi e a ricostruirlo in modo perfetto col banco di sintesi.

Si noti che il sottocampionamento (o il sovracampionamento del banco di sintesi) corrisponde nel continuo ad una variazione di scala. Inoltre sottocampionare significa rappresentare un segnale con un numero inferiore di campioni, ciò sottintende una perdita di informazione, ma una diminuzione di risoluzione. Questi banchi di filtri possono essere iterati, in un numero N voluto di rami. 

Si noti che un ramo restituisce il risultato del filtraggio di un filtro passa alto (passano cioè la frequenze alte) l'altro il risultato del filtraggio passa basso. Abbiamo visto nel paragrafo jpg come anche per le immagini si può parlare di frequenze, inoltre si può vedere che fondamentalmente le immagini sono segnali a bassa frequenza. Fatte queste considerazioni possiamo pensare di filtrare l'immagine e scartare le alte frequenze. In questo modo non abbiamo più la ricostruzione perfetta dell'immagine, ma una sua compressione.

Nella pagina seguente vi mostro alcuni risultati.