Dispensa sulla verifica di un fabbricato in muratura in zona sismica secondo la nuova normativa 2009

 

Esercizi svolti di statica di strutture piane (reazioni vincolari classi terze) 

 

Esercizi svolti sui diagrammi dei momenti del taglio e sforzo normale      

 

 

 

 

 

 

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Lezione N1: La Flessione semplice nel cemento armato

 

La teoria utilizzata per la flessione semplice si basa sull'ipotesi che i materiali abbiano un comportamento ideale, ossia siano perfettamente elastici, siano omogenei, abbiano comportamento lineare.

Ricordiamo che i materiali hanno comportamento elastico, quando se cessa la forza che ha provocato una deformazione, la deformazione si annulla, ossia il corpo assume la forma originaria. Hanno comportamento lineare quando al raddoppiare e al triplicare delle tensioni, raddoppiano e triplicano le deformazioni. La omogeneità si ha quando il corpo ha la stessa composizione in ogni punto.

I materiali da noi utilizzati, in genere si avvicinano ad un comportamento di tale tipo (elastico - lineare), ma non lo raggiungono perfettamente, perciò tali ipotesi nella realtà non si verificano perfettamente, per cui la teoria di calcolo è più o meno approssimata a secondo se il materiale si avvicina più o meno a tale ipotesi. In particolare il calcestruzzo ha un comportamento abbastanza dissimile; tuttavia tali ipotesi vengono estese anche al calcestruzzo compresso.

Nella flessione parte della sezione è tesa, parte compressa; ora, mentre la resistenza del calcestruzzo a compressione è buona, è trascurabile quella a trazione che infatti viene completamente ignorata; nella parte tesa della trave quindi, vengono inserite delle barre d'acciaio che ha appunto il compito di sopportare la trazione.

La sezione che si prende in considerazione per il calcolo, quindi, è costituita dal calcestruzzo compresso e dal ferro teso, ignorando quindi completamente il calcestruzzo teso, ossia la sezione esistente. Tale sezione prende il nome di sezione reagente.

d = copriferro

h = altezza utile

 

Le fibre che subiranno i maggiori allungamenti o accorciamenti sono quelli più distanti dall'asse neutro, la cui posizione è incognita. L'area di ferro viene assimilata a calcestruzzo moltiplicandola per n coefficiente di omogeneizzazione.

Tra deformazioni e tensioni esiste la relazione: s = E x e

Il diagramma delle tensioni quindi, si otterrà da quello delle deformazioni, moltiplicandolo per E, ricordando che nella zona tesa le uniche tensioni si avranno in corrispondenza del ferro, poiché si prescinde dalla resistenza a trazione del calcestruzzo. In pratica è come se al disotto dell'asse neutro il calcestruzzo non esistesse.

Progetto e verifica delle sezioni rettangolari in cemento armato

Nella figura sottostante è mostrata la sezione rettangolare, con il diagramma delle tensioni interne. Osservando tale diagramma, si può notare come la parte reagente di calcestruzzo è solo quella superiore all’asse neutro, mentre la parte inferiore non reagisce perché non è in grado, il calcestruzzo, di sopportare sollecitazioni di trazione. Gli sforzi di trazione sono assorbiti dal solo ferro teso. La tensione indicata sul diagramma, è quella che agisce sul ferro omogeneizzato in calcestruzzo, si sta considerando cioè una sezione composta da calcestruzzo compresso e da "calcestruzzo" teso, costituito dal ferro posto nella zona tesa.

Il problema della verifica

Nella verifica a flessione le incognite sono tre: s _c, s _f e x, occorrono quindi tre equazioni. Due sono le equazioni di equilibrio: equilibrio alla rotazione tra tensioni interne e ed equilibrio alla traslazione, la terza equazione è una proporzione tra le tensioni di trazione e di compressione.

sostituendo la (3) nella (1) e la (2) nella (3) si ha:

La terza equazione è di secondo grado, risolvendola si ha:

mettendo in evidenza si ha:

non si è preso in considerazione la soluzione col segno – davanti alla radice che, dando un valore di x negativo, non avrebbe avuto senso dal punto di vista pratico.

Osservando la equazione (1), si comprende che il denominatore è costituito dal momento di inerzia I_n della sezione reagente, pertanto si può scrivere:

 la tensione nel ferro teso può essere calcolata con la (3), che, sostituendo il valore di s _c diventa:

Il problema del progetto

Nel progetto a flessione le tensioni nel calcestruzzo e nel ferro sono note perché vengono poste uguali alle rispettive tensioni ammissibili. Le incognite sono: x, B, H e Af, in totale sono quindi quattro.Le equazioni risolutive sono le stesse viste precedentemente, esse sono quindi tre, per poter risolvere il problema è necessario che una di queste incognite venga stabilita dal progettista, si fissa di solito la base B che è la dimensione meno significativa ai fini della resistenza a flessione.

Scriviamo le equazioni viste in precedenza, sostituendo, come detto, alle tensioni il valore delle tensioni ammissibili.

dalla equazione (3), calcoliamo x :

poniamo la quantità:

 

esso è un termine noto che dipende solo dai valori delle tensioni ammissibili, pertanto si ha: , sostituiamo tale valore alle equazioni (1) e (2)

l’equazione risolutiva è la (1), lavoriamo su essa e determiniamo h:

 poniamo la quantità:

 

 il coefficiente a dipende solo dalle tensioni ammissibili del calcestruzzo e del ferro. Sostituendo tale espressione di h nella equazione (2), è possibile trovare l’area del ferro:

;

ponendo il quantitativo:

 

che dipende anch’esso dai valori delle tensioni ammissibili, si ha:

 Si fa notare che i coefficienti a e b non sono adimensionali, ma dipendono dalle unità di misure usate. I valori di a e b che si trovano tabellati tradizionalmente sono stati calcolati con unità di misura Kg e cm, pertanto esprimere sempre il momento in K*Cm e la base B in Cm.

Nelle tabelle redatte secondo le unità di misura del sistema internazionale, le unità di misura usate sono N e mm, pertanto il momento va espresso in N*mm e la base in mm.

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Aste in legno caricate di punta

La formula di verifica, col metodo delle tensioni ammissibi, è:     

 

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