Cumque dormisset ibi nocte
illa
separavit de his quae habebat
munera Esau fratri suo
capras ducentas hircos viginti
oves ducentas arietes viginti.
E cando hiad' dromiu inie una notte
seberad' de su chi tenede
po nde faere unu donu a Esau frade suu
crabas dughentas beccos binti
arbeghes dughentas mascos binti.
Poite Giacobbe arregalad' duos tazzos, unu de dughentasbinti crabas e unu de
dughentasbinti arbeghes a su frade Esau?
220 este in matematica unu numeru particulare: issu este unu numeru amigu, chi andat de
accordu cun 284.
Si narana numeros amigos duos numeros cando sos divisores de unu,francu su numeru propriu,
sommaos tra
issos funi uguales a su segundu numeru, e sa somma de sos divisores de custu este uguale a
su primu.
Divisors[220]
{1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55,
110, 220}
Divisors[284]
{1, 2, 4, 71, 142, 284}
Apply[Plus,Divisors[220]] -220
284
Apply[Plus,Divisors[284]]-284
220
Giacobbe, chi cheriat meda bene
a Esau, non solu hat seberau bellu bestiamene de dd'arregalare, ma hat seberau puru unu
numeru particulare, simbolicu, pro dimostrare a su frade, chi fudi arrennegau cun issu po
tantos motivos, tottu s'amicizia e s'affettu chi ddi manteniada. E su numeru 220, ripetiu
duas bortas po non parrer a nessunu unu casu fortuitu ma una cosa pensada e cun
significaos profundos, este s'unicu numeru chi podiat chistionare a Esau. Su cales hat
cumprendiu e hat perdonau a Giacobbe medas malefattas. Grazias a s'aritmetica sos duos
frades funi torraos in paghe.
Nos podimos dimandare si,a parte 220 e 284 esistini atteras coppias de numeros amigos, e
commente faere
a nde calculare calicun'attera. Sas coppias de numeros amigos funi medas, forzis infinias,
su programa chi hamus preparau ddas podet calculare tottus, si unu tenede tempus meda e
passienzia.
(*Tottu si chi este iscrittu aintro de
parentisi e de isteddos enidi ignorau da e su prgramma. Amigos este su numene de su
programma e accettada po argumentu unu numeru naturale.*)
amigos[n_Integer]:=
Module[{j=1,k},
While[j<n,
k=Apply[Plus,Divisors[j]]-j;
If[Apply[Plus,Divisors[k]]-k===j,
Print[{j,k}]];
j=j+1]]
amigos[20000]
{6, 6}
{28, 28}
{220, 284}
{284, 220}
{496, 496}
{1184, 1210}
{1210, 1184}
{2620, 2924}
{2924, 2620}
{5020, 5564}
{5564, 5020}
{6232, 6368}
{6368, 6232}
{8128, 8128}
{10744, 10856}
{10856, 10744}
{12285, 14595}
{14595, 12285}
{17296, 18416}
{18416, 17296}
Unu numeru si narat perfettu
cando sa summa de sos divisores suos, francu su numeru propriamente, este uguale a su
numeru de su cale semus arresonande. Tando su programma nos narat chi 6 e 496 funi numeros
perfettos.
Cherende si podet costruire direttamente una funzione chi chirchede e agattede solu sos
numeros perfettos. Si cominzada costruinde su preigau, chi definit sos numeros perfettos e
posca si definit sa funzione.
Clear[perfQ,perfettu]
perfQ[n_Integer]:=
Apply[Plus,Drop[Divisors[n],-1]]===n
perfettu[n_]:=
Module[{j=n},
Select[Range[j],perfQ]]
perfettu[5000]
{6, 28, 496}
E tando de unu a chimbemila
solu trese funi sos numeros perfettos. Tiu Euclide, unu matematicu antigu, ischidiada chi
sa formula 2^(n-1) (2^n-1) calcula' sempere unu numeru perfettu. Basta' chi su numeru
2^(n-1) siada unu numeru primu. Custos numeros primos funi connottos in aritmetica cun su
lumene de numeros de Mersenne, un'atteru mannu matematicu antigu. Issu fud'unu preide, e
tando po s'arrespettu chi ddi tenimus no ddu podimus zerriare tiu: tottus ddi naran padre
Mersenne e nois puru faghimus gasi. Ma sos preides puru cracchi orta faddini: Padre
Mersenne fu convintu chi in sa formula 2^n-1 sostituinde a n un'atteru'unu numeru de
Mersenne si esserad'ottentu sempere un'atterunu numeru primu de Mersenne. Ma de asighe no
este: 2^13-1 est'infattis'uguale a 8191, su cales est'unu numeru primu, ma 2^8191-1 no
este unu numeru primu. Comunque siana sas cosas 2^2,2^3,2^5,2^7,2^13,2^17, 2^19,2^31,2^61
mancu una unidade funi tottus numeros primos de Mersenne e cun sa formula de tiu Euclide
generana tottus numeros perfettos. Cherende podimus iscriere unu programma po verificare
custa bella cungettura, como dimostrada non vera, de Padre Mersenne. Costruimus un'imparis
de numeros primos e ddu muttimus a lumene primos:
primos=Select[Table[n,{n,1,62}],PrimeQ]
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,
37, 41, 43, 47, 53, 59, 61}
Costruimus una tabella de
coppias de numeros in sas cales sa prima coordinada este unu numeru de Mersenne, e sa
segunda unu numeru primu de sa tabella primos, e dda muttimus mersenne.
mersenne=Table[
{ 2^primos[[i]]-1,primos[[i]]},
{i,1,Length[primos]}]
{{3, 2}, {7, 3}, {31, 5}, {127, 7}, {2047,
11}, {8191, 13},
{131071, 17}, {524287, 19}, {8388607, 23}, {536870911, 29},
{2147483647, 31}, {137438953471, 37}, {2199023255551, 41},
{8796093022207, 43}, {140737488355327, 47}, {9007199254740991, 53},
{576460752303423487, 59}, {2305843009213693951, 61}}
Po controllare cun discanzu sa
tabella dda iscriimus incolonnande sas coppias.
mersenne//ColumnForm
{3, 2}
{7, 3}
{31, 5}
{127, 7}
{2047, 11}
{8191, 13}
{131071, 17}
{524287, 19}
{8388607, 23}
{536870911, 29}
{2147483647, 31}
{137438953471, 37}
{2199023255551, 41}
{8796093022207, 43}
{140737488355327, 47}
{9007199254740991, 53}
{576460752303423487, 59}
{2305843009213693951, 61}
Ammustramus chi sos
primos de Padre Mersenne funi solu sos chi hamus elencau pagu susu e funi solu
noe.
Select[
Table[
mersenne[[k,1]],
{k,1,Length[mersenne]}],PrimeQ]//ColumnForm
3
7
31
127
8191
131071
524287
2147483647
2305843009213693951
Cche semus finios a chistionare
de atteras cosas, sa persona istudiosa chi chere' perņ po contu suu calculare sos numeros
perfettos connottos, una parte solu, ddu pode' faere cun sa formula de tiu Euclide e cun
sos numeros primos de Padre Mersenne.
Perfettos
Podimus
iscrier' unu programma, derivau de su programma amigosduos, chi cricched'e agattede solu
sos numeros perfettos. Evitamus de ddu cummentare riga a riga poite s'istruttura
matematica este simile a amigosduos. Cambiada solu sa cundizione chi este su corpu de If:
solu si sa variabile de appoggiu k risultad'uguale a su numeru j, tando j este unu numeru
perfettu, e tando iscrie j.
perfettos[iniziale_Integer,finale_Integer]:=
Module[{j=iniziale,k},
While[j<finale,
k=Apply[Plus,Divisors[j]]-j;
If[Apply[Plus,Divisors[k]]-k===j&&j===k,
Print[{j}]];
j=j+1]]
perfettos[1,10000]
{6}
{28}
{496}
{8128}
In s'intervallu numericu dae
unu a deghe mila solu battoro numeros funi perfettos. Issos funi tottusu numeros paris.
Esistini numeros perfettos disparis? Custu est s'indovinzu. Ma ddu hana peleau meda
matematicos senza nd'ogare pese.Finas sos numeros amigos ponen chistiones difficiles a
tenner risposta: po esempiu tottus sas coppias de numeros amigos funi fattas o de numeros
solu paris o de numeros solu disparis: esistini coppias de paridade opposta? O finzas
cantas funi sas coppias de numeros amigos? Si non tenen fine ogae a pizu una
dimostrazione.
Apply[Plus,Divisors[496]]-496
496
Apply[Plus,Divisors[8128]]-8128
8128
Amus provau chi
battorochentosnorantasese e ottomilaechentubintotto funi duos numeros perfettos.