ESEMPI
DI SUPERFICI TOPOLOGICHE
La
Bottiglia di Klein
La bottiglia di Klein è un esempio molto interessante di superficie a una sola
faccia che, a differenza del nastro di Möbius, è anche una superficie chiusa,
cioè "priva di contorno"..
Purtroppo questa superficie ha il suo ambiente naturale in uno spazio a quattro
dimensioni e quindi non è possibile darne una visualizzazione corretta nello
spazio geometrico a tre dimensioni. Se però ci accontentiamo di uno "schiacciamento"
di questa superficie in modo da poterla incapsulare nello spazio a tre dimensioni,
allora ci sono varie rappresentazioni, che in ogni caso rendono evidente la
proprietà di questa superficie di avere una sola faccia e di essere chiusa.
Tra i possibili incapsulamenti tridimensionali della bottiglia di Klein, proponiamo
quello proposto dallo stesso Felix Klein (1849-1925). Per costruirlo consideriamo
una superficie di forma cilindrica, più stretta da un lato. Supponiamo ora di
voler fare combaciare le due estremità, ma non in modo da ottenere un toro,
bensì praticando un foro nella parete del cilindro e infilandoci l'estremità
più sottile, come è indicato nella figura seguente. Se completiamo il procedimento
otterremo la superficie che stiamo cercando,
la "Bottiglia di Klein", o meglio un suo incapsulamento nello spazio tridimensionale.
Si tratta di una superficie ad una sola faccia, cioè con la proprietà che da
qualunque punto sulla superficie si può raggiungere qualunque altro punto (esattamente
come nel nastro di Möbius), ma con l'ulteriore interessante proprietà di essere
una superficie chiusa, cioè priva di bordi.
L'immersione della bottiglia nello spazio a tre dimensioni ha introdotto una
linea di intersezione tra due parti della superficie. Se tagliamo la bottiglia
di Klein lungo una linea mediana otteniamo due nastri di Möbius: un altro modo
di costruire la bottiglia è proprio quello di saldare due nastri di Möbius per
il loro bordo.
Il fatto che la bottiglia di Klein contenga nastri di Möbius è di particolare
interesse: il nastro di Möbius può essere considerato come l'unità base delle
superfici non orientabili (cioè con una sola faccia), in quanto si può provare
che ogni superficie di questo tipo contiene un nastro di Möbius. Anche se è
un po' più difficile da disegnare si può provare che la bottiglia di Klein potrebbe
essere trasformata in un unico nastro di Möbius con un taglio lungo una linea
chiusa opportuna.
ricostruzione
con Rhino della bottiglia di Klein
