da cui risolvendo rispetto a v :

poiché la velocità può essere espressa dalla relazione

in cui T e il periodo di rivoluzione del pianeta o satellite.

I satelliti terrestri e le velocità cosmica

Newton dimostrò che qualsiasi grave , purché sia lanciato con velocità opportuna , diventa un satellite artificiale della Terra , per effetto della forza di gravità con cui viene attratto dalla Terra.

Finché la velocità di lancio è inferiore a una velocità critica V1 , detta 1° velocità’ cosmica , la traiettoria del satellite è un’ellisse che interseca la superficie terrestre e della quale un fuoco coincide con il centro della Terra.

Se la velocità di lancio è uguale alla 1° velocità cosmica , pari a 7,9 km/s , il satellite si muoverà intorno alla Terra su un’orbita circolare con raggio uguale al raggio terrestre.

L’orbita circolare diventa ellittica con un fuoco nel centro della Terra se la velocità di lancio è compresa tra 7,9 km/s e 11,2 km/s , detta 2° velocità cosmica o velocità di fuga.

Per un satellite che ruota intorno alla Terra valgono tutte le relazioni trovate per l'orbita circolare di una massa m nel campo gravitazionale generato dalla massa M in cui ora la massa M diventa la massa della Terra mentre m quella del satellite.
L'equazione diventa perciò:

Calcolo della prima velocità' cosmica

Per la seconda legge della dinamica si ha l'equazione

e risolvendo rispetto a v :

Sostituendo i valori numerici si ottiene:

Calcolo della  velocità' di fuga

Per il calcolo della velocità di fuga, osserviamo che l'energia totale deve essere nulla o positiva. Ne segue che, per il principio di conservazione dell'energia l'energia totale è nulla anche sulla superficie terrestre, cioè alla distanza dal centro della Terra. Possiamo perciò scrivere:

da cui si ricava la velocità di fuga:

Eseguendo il calcolo numerico si ha:

Satelliti Geostazionari

Un notevole progresso scientifico si è avuto con la messa in orbita di satelliti geostazionari o sincroni che trovandosi rispetto alla Terra sempre nella stessa posizione, permettono di realizzare telecomunicazioni intercontinentali nei due sensi.
Se indichiamo con h la quota del satellite sincrono, per la seconda legge della dinamica si ha:

Da cui si ricava:

in cui il periodo T è pari a 1 giorno.
Sostituendo i valori numerici si ottiene: