Numeri naturali

Per definire i numeri naturali sfrutteremo il concetto di enumerazione.

    • Uno è un numero naturale

    • Ogni numero naturale ammette un successivo. Successivo= numero + uno.

    • Ogni numero naturale ammette un precedente ad esclusione del numero uno. Precedente = numero -1.

Sui numeri naturali si possono effettuare le seguenti operazioni:

  • La somma: la somma di due numeri naturali da per risultato un numero naturale.

  • Il prodotto di due numeri naturali da per risultato un numero naturale.

Sui numeri naturali non sono  sempre effettuabili le operazioni inverse sottrazione e divisione.

Proprietà generali:

  1. L'insieme dei numeri naturali è ordinabile, è sempre possibile determinare chi precede e chi segue quando si deve effettuare l'ordinamento di più numeri.

  2. Se a è minore di b allora deve esistere un numero c tale per cui.

    a + c = b

  3. Le operazioni somma e moltiplicazioni risultano essere commutative   a + b = b + a     |   a b = b a

  4. Le operazioni inverse non sempre si possono effettuare nell'insieme dei numeri naturali.

Il numero zero non è un numero naturale. E' stato aggiunto all'insieme dei numeri naturali per permettere l'introduzione della notazione posizionale e per introdurre il concetto di numero neutro.

POSTULATI DEL NUMERO ZERO

  • Moltiplicando un numero per zero si ottiene per risultato zero

    • A + 0 = 0 + A = A

  • Se A B = 0 allora o A = 0 oppure B = 0 (legge dell'annullamento del prodotto).

  • Non esiste il risulta dell'operazione numero diviso zero

    •  A / 0 = non numero?

 

ASSIOMI DI PEANO.

Peano ha generalizzato quanto sopra riportato definendo i numeri naturali a partire dal numero 0 e introducendo il concetto di successivo e precedente.

Assiomi di Peano:

  1.  0 è un numero.

  2. il successore di un numero è un numero ( il successore è il numero incrementato di una unità).

  3. 0 non è successore di alcun numero.

  4. Numeri con successori uguali sono uguali.

  5. Se l'insieme I contiene lo 0 e inoltre qualsiasi sia il numero scelto il suo successore appartiene all'insieme I, allora l'insieme I contiene tutti i numeri.