STRUTTURE ALGEBRICHE

Struttura di gruppo

Un insieme numerico A ha struttura di gruppo rispetto ad una operazione scelta se:

  1. A è chiuso rispetto all'operazione scelta ( eseguendo l'operazione tra due elementi dell'insieme il risultato è un elemento appartenente all'insieme).

  2. L'operazione è associativa ( scegliendo ad esempio l'operazione somma e presi tre numeri a,b,c appartenenti all'insieme allora (a+b)+c = a + (b+c)

  3. Esiste in A l'elemento unità o neutro rispetto all'operazione. ( per la somma 0 per il prodotto 1).

  4. Per ogni elemento dell'insieme esiste un altro elemento ed effettuando l'operazione sui due elementi il risultato è l'elemento neutro.

Se vale la proprietà commutativa il gruppo sarà definito essere abeliano.

L'insieme dei numeri naturali non ha struttura di gruppo né rispetto all'operazione somma né rispetto all'operazione prodotto, in quanto non vale la quarta proprietà.

STRUTTURA DI CAMPO

Un insieme numerico A ha struttura di Campo se sull'insieme sono definite le operazioni di somma e di prodotto e se:

  1. L'insieme A ha struttura di gruppo rispetto all'operazione somma.

  2. L'insieme A ha struttura di gruppo rispetto all'operazione prodotto.

  3. Vale la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma.  

a ( b+c)= ab + a c

Se le operazioni godono della commutatività allora il campo è abeliano.