I NUMERI REALI (R)

Pur avendo struttura di campo l'insieme dei numeri razionali, non è possibile definire in Q l'operazione inversa dell'operazione potenza ( la radice ennesima di un numero) e altre operazioni su operatori particolari (seno , logaritmo, ... ).

Definiamo numero reale assoluto quel numero che può essere considerato elemento separatore di una partizione di Q⁺.

 2  è un numero reale?

Consideriamo l'insieme A di tutti i numeri razionali assoluti il cui quadrato sia inferiore di 2

Consideriamo l'insieme B di tutti i numeri razionali assoluti il cui quadrato sia maggiore di 2

Nei due insiemi sono presenti tutti i numeri razionali e pertanto determinano una partizione dei razionali.

I due insiemi sono tali che per ogni numero e piccolo a piacere è possibile determinare un numero appartenente all'insieme A e un secondo appartenente all'insieme B, tali che la loro differenza sia minore di e . Pertanto esiste un elemento separatore tra i due insiemi. Detto elemento separatore non è in questo caso un elemento appartenente a Q⁺ . Il numero individuato è un numero irrazionale.