| Provare che una sfera è equivalente ai 2/3 del cilindro circoscritto. | Per calcolare detto rapporto è sufficiente scrivere le formule dei due volumi e calcolarne il rapporto. Per provare quanto richiesto si deve dimostrare a priori le formule dei volumi e solo successivamente determinare il rapporto. |
| Determinare il numero delle soluzioni dell'equazione x ex+ x e -x -2=0 | |
| Dimostrare che se p(x) è un polinomio, allora tra due qualsiasi radici distinte di p(x) c'è una radice di p'(x) | Per il teorema di Rolle.sia x=a e x=b due radici dell'equazione. posto y=p(x) y(a)= y(b) = 0. La funzione è continua e derivabile tra a e b e pertanto esiste un punto tra a e b in cui la derivata vale 0. |
| Calcolare la derivata della funzione f(x)= arcsen x + arcos x. Quali conclusioni se ne possono trarre per la f(x)? | f'(x) = 0 e quindi la funzione f(x) è costante tra 0 e p / 2 ( intersezione dei domini) e vale sempre p /2 ( angoli complementari) |
Calcolare l'integrale  |
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Con uno dei metodi di
quadratura studiati si calcoli un'approssimazione dell'integrale
definito 
e si confronti il risultato ottenuto con il valore esatto
dell'integrale. |
Integrale immediato:
Calcolo numerico con il metodo dei trapezi: |
| Verificato che l'equazione x - e -x = 0 ammette una sola radice positiva compresa tra 0 e 1 se ne calcoli un'approssimazione applicando uno dei metodi studiati. | se poniamo f(x)= x - e -x questa funzione soddisfa alle ipotesi della ricerca degli zeri. Infatti f( 0) = - 1 e f(1)= 1 - 1/e. Inoltre la f'(x)= 1 + e -x ( sempre positiva) e pertanto esiste solamente un punto tra 0 e 1 in cui detta funzione vale zero. In questo modo troviamo la soluzione ( vedere punto 3 del problema n.2) |
| Una classe è composta da 12 ragazzi e 4 ragazze. Tra i sedici allievi se ne scelgono 3 a caso: qual'è la probabilità che essi siano tutti maschi? | Per calcolare la probabilità richiesta possiamo seguire
due diversi cammini:
C12,3 / C15,3 = [12! /(9! 3!)][ (12! 3!) / 15!] = 44/91 |
| Spiegare il significato di sistema assiomatico ... | |
| Dire formalizzando la questione e utilizzando il teorema del valor medio o di Lagrange, se è vero che:" se un automobilista compie un viaggio senza soste in cui la velocità media è 60Km/h, allora almeno una volta durante il viaggio il tachimetro dell'auto deve indicare esattamente 60 Km/h. | La legge oraria dello spostamento e della velocità sono
funzioni continue nella variabile tempo. Utilizzando la legge oraria
della velocità e applicando quanto visto per il teorema del valor
medio, per il tratto tra t=a e t=b, siamo certi che esiste un solo punto
t=c(con c compreso tra a e b) in cui v(t)= Integrale della velocità /
(b-a)
Utilizzando la legge oraria dello spostamento, sapendo che la velocità media è data da (p(b) - p(a))/(b-a) esiste per il teorema di Lagrange almeno un punto in cui la derivata della legge oraria (la velocità) è uguale alla velocità media (il rapporto incrementale). |
