2.2  L'integrale di Feynman in teoria dei campi

Il formalismo che ha portato alla formulazione dell'integrale di Feynman in meccanica quantistica, può essere facilmente generalizzato alla teoria dei campi che, da un punto di vista della dinamica Hamiltoniana, è un sistema con un numero infinito di gradi di libertà [12].

Per esempio, consideriamo un campo scalare neutro $\phi (x)$, funzione dei punti dello spazio-tempo x, e sia:

$${\cal L} = {\cal L} (\phi , \partial_{\rho}\phi )$$ (2.33)

 

la densità di Lagrangiana, che dipende solo dal campo e dalle sue derivate prime. Sia I(M) l'integrale d'azione, definito per una regione arbitraria M dello spazio-tempo:

$$I(M) = \int_M d^4x \, {\cal L} (\phi , \partial_{\rho}\phi ) \; ,$$ (2.34)

 

e imponiamo che, per una variazione del campo che si annulli sul contorno di M, l'azione abbia un valore stazionario. Come è noto, tale condizione conduce alle equazioni di Euler-Lagrange:

$$\frac{\partial {\cal L}}{\partial \phi} - \partial_{\rho}\le......tial {\cal L}}{\partial (\partial_{\rho}\phi)}\right) = 0 \; ,$$ (2.35)

 

che rappresentano le equazioni del moto per i campi.

Per quantizzare il sistema classico, descritto dalle (2.35), usando il formalismo canonico della meccanica quantistica non relativistica, è necessario introdurre variabili coniugate. Pertanto ad un istante fissato tsuddividiamo lo spazio in un reticolo di cellette uguali di volume $\epsilon^3$. Approssimiamo il valore del campo nella cella con il suo valor medio all'interno della cella stessa; il sistema è quindi descritto dall'insieme discreto di coordinate generalizzate:

$$q_i(t) \equiv \phi_i(t) =\frac{1}{\epsilon^3} \int_{M_i} d^3x \, \phi(\mbox{\bf x},t) \; ,$$ (2.36)

 

dove l'integrazione è sulla i^ma cella di dimensione $\epsilon^3$.

Su questo reticolo discreto, le derivate spaziali dei campi devono essere sostituite dalle differenze dei valori dei campi in due celle contigue; la Lagrangiana è perciò data da:

$$L = \int d^3x \, {\cal L} \stackrel{discr}{\longrightarrow}......\left(\phi_i(t),\phi_{i \pm s}(t),\dot{\phi}_i(t)\right) \; ,$$ (2.37)

 

dove $\dot{\phi}_i(t)$ è la media della derivata temporale di $\phi$ sulla i^ma cella, e $\phi_{i \pm s}(t)$ è il valor medio del campo nella cella contigua.

Gli impulsi coniugati alle $\phi_i(t)$ sono:

$$p_i(t) = \frac{\partial L}{\partial \dot{\phi}_i(t)}= \epsi......}{\partial \dot{\phi}_i(t)}\equiv \epsilon^3 \pi_i (t) \; .$$ (2.38)

 

L'Hamiltoniana del sistema discreto è allora data da:

$$\sum_i p_i \dot{q}_i - L$$                    H =

$$\sum_i \epsilon^3 \left(\pi_i (t)\dot{\phi}_i (t) - {\cal L}_i \right)$$ =

$$\sum_i \epsilon^3 {\cal H}_i (\pi_i,\phi_i,\phi_{i\pm s}) \; .$$ = (2.39)

 

Al limite per $\epsilon^3 \to 0$, il campo coniugato a $\phi (x)$è definito da:

$$\pi (x) = \frac{\partial {\cal L}}{\partial \phi} \; .$$ (2.40)

 

La Lagrangiana e l'Hamiltoniana diventano:

$$\int d^3x \, {\cal L}(\phi, \partial_{\rho}\phi) \; ,$$                  L(t) = (2.41)

$$\int d^3x \, {\cal H}(x) \; ,$$ H = (2.42)

 

dove le integrazioni sono estese a tutto lo spazio per t fissato, e la densità di Hamiltoniana ${\cal H}$ è definita da:

$${\cal H} (x) = \pi (x) \dot{\phi}(x)- {\cal L} (\phi, \partial_{\rho}\phi) \; .$$ (2.43)

 

Si può quindi approssimare la teoria interpretando le coordinate e gli impulsi coniugati della approssimazione discreta, come operatori di Heisenberg, e sottoponendoli alle usuali regole di commutazione a tempi uguali che, nel limite al continuo, assumono la forma:

$$[\phi(\mbox{\bf x},t),\pi(\mbox{\bf x}',t)]=i \, \hbar \, \delta (\mbox{\bf x} - \mbox{\bf x}') \; .$$ (2.44)

 

Con queste prescrizioni è possibile estendere al formalismo della teoria dei campi la formula (2.21) ottenuta nel paragrafo precedente, che esprime l'operatore di evoluzione temporale in termini dell'integrale di cammino [13]:

$${\langle \phi_f(\mbox{\bf x})\vert U(t_i,t_f)\vert\phi_i(\mbox{\bf x})\rangle = }$$

$$= \int d\phi_{N-1} \cdots d\phi_1 \frac{\epsilon^3}{2\pi\hbar}\int e^{\frac{i}{\hbar}\epsilon^3\left[\pi_N(\phi_N-\phi_{N-1}) -{\cal H}(\pi_N,\phi_{N-1})\Delta t \right]}d\pi_N$$

$$\!\!\!\!\!\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\times \frac{\epsilon^3}{2\pi\hbar}\int e^{\frac{i}{\hbar}\epsilon^3\le......hi_{N-1}-\phi_{N-2})-{\cal H}(\pi_{N-1},\phi_{N-2})\Delta t \right]}d\pi_{N-1}$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\cdots \times \frac{\epsilon^3}{2\pi\hbar}\int e^{\frac{i}{\hbar}\epsilon^3\left[\pi_1(\phi_1-\phi_0)-{\cal H}(\pi_1,\phi_0)\Delta t \right]}d\pi_1 \; .$$ (2.45)

 

Nel limite al continuo, questa espressione diventa:

$${\langle \phi_f(\mbox{\bf x})\vert U(t_i,t_f)\vert\phi_i(\mbox{\bf x})\rangle = }$$

$$= \int e^{\frac{i}{\hbar}\int_{t_i}^{t_f}\left[\pi(\vec{x},t)\do......\prod_{t}\frac{d\pi(\mbox{\bf x},t)}{2\pi\hbar} \, d\phi(\mbox{\bf x},t) \; .$$ (2.46)

 

Se, in particolare, si considera un sistema in cui la densità di Hamiltoniana sia quadratica negli impulsi coniugati, come, ad esempio, nel caso di un campo scalare neutro descritto dalla densità di Lagrangiana:

$${\cal L} = \frac{1}{2} \partial _{\mu} \phi \, \partial ^{\mu}\phi+\frac{m^2}{2}\phi ^2 - V(\phi) \; ,$$ (2.47)

 

si può considerare la separazione nelle variabili $\phi$ e $\pi$, e l'elemento di matrice dell'operatore di evoluzione temporale diventa:

 

$$\langle \phi _f (\mbox{\bf x}),t_f\vert\phi_i (\mbox{\bf x}),t_i \rangle \langle \phi _f (\mbox{\bf x})\vert e^{-i{\cal H} (t_f-t_i)}\vert\phi _i(\mbox{\bf x}) \rangle$$ =

$$\frac{1}{N}\int e^{i \int_{x_i}^{x_f} {\cal L} (\phi,\dot{\phi} )d^4x}\prod_{x}d\phi (x)$$ =

$$\int {\cal D}[\phi (x)] \, e^{iI[\phi (x)]} \; .$$ = (2.48)

 

In teoria dei campi, tutte le quantità fisiche, e in particolare i propagatori di Feynman, sono derivabili dalla ampiezza di transizione da vuoto a vuoto in presenza di sorgenti esterne $J(\mbox{\bf x},t)$ [14]. Questa ampiezza, che indichiamo con W[J], può essere calcolata tramite la (2.48) aggiungendo alla Lagrangiana un termine:

$$\int d^3x \, J(\mbox{\bf x},t) \, \phi(\mbox{\bf x},t)$$ (2.49)

 

nel limite $t_i \to -\infty$ e $t_f \to \infty$; riconsiderando l'espressione generale:

$$W[J] = \int e^{\frac{i}{\hbar}\int_{-\infty}^{\infty}[\pi(x)\dot{\phi}(x) - {\cal H}(x) + J(x) \phi (x)] dt \, d^3x} \; .$$ (2.50)

 

Il funzionale W[J] è in generale un integrale oscillatorio e mal definito anche nell'approssimazione discreta del reticolo. Esistono due modi per risolvere questo problema:

1.

porre un fattore di convergenza del tipo $e^{-\beta \phi^2}$ con $\beta > 0$;

2.

definire W[J] nello spazio euclideo, ponendo $x^0 \to -ix^4$, per cui, nella versione euclidea W_E[J], l'esponente dell'integrando è definito negativo. Recenti progressi in teoria dei campi indicano infatti che, se si può costruire una teoria nello spazio euclideo che soddisfi certi assiomi appropriati, allora esiste una corrispondente teoria di campo nello spazio di Minkowski, ottenuta come continuazione analitica della prima.

 
1999-03-18