(6.1) |
dove è il dilatone; è il compattone ottenuto dalla riduzione dimensionale della teoria in dieci dimensioni; g è il determinante del tensore metrico; R è lo scalare di curvatura; , dove è il tensore di campo elettromagnetico di Maxwell; infine q è una costante di accoppiamento che, in principio, può essere determinata da calcoli a un ``loop''.
L'azione considerata è fondamentale nell'ambito della teoria efficace delle corde in quanto, a partire da questa, è possibile utilizzare le ordinarie tecniche utilizzate in teoria dei campi, per ricavare soluzioni esatte di buchi neri. Soluzioni esatte possono essere ottenute se l'azione viene semplificata tramite l'ansatz:
(6.2) |
che equivale a porre:
(6.3) |
Perciò:
(6.4) |
Dunque, l'azione efficace considerata si riduce a:
(6.5) |
Introduciamo a questo punto una nuova costante k, che parametrizza la teoria:
(6.6) |
ed esplicitiamo rispetto alla costante di accoppiamento q:
(6.7) |
Con questa sostituzione, l'azione si semplifica nella forma finale:
(6.8) |
Si noti il particolare andamento della funzione q(k): nel limite singolare per k=1 è q=0; il dilatone si disaccoppia e ci si riconduce alla teoria di Einstein-Maxwell. Nel limite per k=-1, si ha che e l'azione si riduce all'azione delle corde standard in assenza dell'accoppiamento del modulo; questa situazione corrisponde alla soluzione ricavata da Garfinkle, Horowitz e Strominger (soluzioni GHS) [40]. Da notare che, in questo limite, nonostante l'assenza del compattone, è sempre presente il dilatone che, in tale modello, cambia drasticamente molte proprietà dei buchi neri rispetto a quelli di Reissner-Nordström.