6.3  Le equazioni di campo

Deriviamo le equazioni di campo partendo dall'azione:

$$I = \int d^4x \, {\cal L} \; ,$$ (6.9)

 

dove:

$${\cal L} = \sqrt{-g} \, e^{-2 \phi}\left[ R -\frac{8k}{1-k} ( \nabla \phi )^2 -\frac{3+k}{1-k} F^2 \right]$$ (6.10)

 

è la densità di Lagrangiana ad essa relativa. Per descrivere in modo completo il sistema fisico, dobbiamo considerare la variazione dell'azione rispetto alle variabili di campo $A_{\mu}$, $\phi$, $g_{\mu \nu}$, cioè consideriamo le equazioni di campo di Euler-Lagrange:

$$\frac{\partial {\cal L}}{\partial A_{\tau}} - \partial_{\rho}\left(\frac{\partial {\cal L}}{\partial(\partial_{\rho}A_{\tau})}\right)$$

$$\frac{\partial {\cal L}}{\partial \phi} - \partial_{\rho}\left(\frac{\partial {\cal L}}{\partial(\partial_{\rho}\phi)}\right)$$

$$\frac{\partial {\cal L}}{\partial g_{\mu \nu}} - \partial_{\rho}\left(\frac{\partial {\cal L}}{\partial(\partial_{\rho}g_{\mu \nu})}\right)$$ (6.11)

 

che, risolte, portano al sistema di equazioni:

 

$$\nabla_{\mu}\left( e^{-2 \phi} F^{\mu \nu} \right) = 0$$ (a)

$$R = \frac{8k}{1-k} \left(\nabla^2 \phi -(\nabla \phi)^2 \right)-\frac{3+k}{1-k} \, F^2$$ (b)

$$R_{\mu \nu} = 4 \, \frac{1+k}{1-k} \,\nabla_{\mu}\phi \nabla_{\n......\nabla_{\mu}\nabla_{\nu}\phi +\left[2\,(\nabla \phi)^2 - \nabla^2 \phi \right]$$ (c)

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;+ 2 \, \frac{3+k}{1-k}\left[F_{\mu \rho} F^{\rho}_{\;\:\nu} -\frac{1}{4} F^2 g_{\mu \nu} \right] \; ,$$ (6.12)

 

dove $\nabla^2 \phi$ è il d'Alembertiano del campo scalare $\phi$, $\nabla \phi$ il quadrigradiente. Queste equazioni ammettono soluzioni di buco nero carico, con configurazioni di monopolo magnetico del campo di Maxwell, date da:

$$- \left(1-\frac{r_+}{r}\right)\left(1-\frac{r_-}{r}\right)^k dt^2 +\left(1-\frac{r_+}{r}\right)^{-1}\left(1-\frac{r_-}{r}\right)^{-1} dr^2$$             ds² =

$$+ r^2 \left(d\vartheta^2 + \sin^2 \vartheta\, d\varphi^2 \right)$$ (6.13)

$$e^{-2\phi} \left(1-\frac{r_-}{r}\right)^{\frac{1-k}{2}}$$ = (6.14)

$$\frac{Q}{r^2}\,\varepsilon_{ij}\;\;\;\;\;\;\;\;\left( i,j = (2,3) \, \right) \; .$$ F_ij = (6.15)

 

I due parametri r₊ e r_- sono correlati alla carica magnetica Q e alla massa M della soluzione, dalle relazioni [39]:

$$\frac{1}{2} \, r_+ + \frac{3-k}{4}\,r_-$$                  M = (6.16)

$$\frac{1-k}{4} \, r_+ \, r_- \; ,$$ Q² = (6.17)

 

mentre la temperatura T e l'entropia S del buco nero, sono date da:

  

$$\frac{1}{4\pi r_+} \left( 1 - \frac{r_-}{r_+}\right)^{\frac{1+k}{2}}$$                     T = (6.18)

$$\pi r_+ \left( 1 - \frac{r_-}{r_+}\right)^{\frac{1-k}{2}} \; .$$ S = (6.19)

 

 
1999-03-18