f001 Dicubo
Cerca due punti A e B, con la massima
distanza fra loro, sulla superficie di un dicubo
(un solido 1x1x2).
si intende ovviamente la distanza lungo la superficie del dicubo, non di quella attraverso il solido
Risposta di Paolo:
Siano P,Q i punti centrali delle due facce quadrate, ed R,S due spigoli opposti
vedi figura
Sviluppo il dicubo in due modi diversi
vedi figura
e calcolo, per ciascuno schema, le distanze *dirette* PQ ed RS
nel primo schema:
PQ=sqrt(10)=3.16
RS=2*sqrt(2)=2.83
nel secondo
PQ=3
RS=sqrt(10)=3.16
se scelgo due punti AB rispettivamente sulle diagonali RP ed SQ, a distanza d dai rispettivi vertici, posso calcolare nei due schemi le distanze AB in funzione di d
salvo errori, per d=0.366 le distanze AB secondo i due percorsi si uguagliano al valore 3.0119, che dovrebbe (forse:) essere il max
f002 Tondi e quadretti
Su un foglio a quadretti unitari
tracciamo una circonferenza di raggio 100.
Se non passa per nessuno dei vertici della quadrettatura, qual e'
il massimo numero di quadretti attraversati dalla circonferenza?
Risposta di Paolo:
800
in generale, se il raggio e' n, il numero max di quadretti e' 8*n
 |
Considero per semplicita' il
centro della circonferenza posto nel centro di un
quadretto; percorro un quarto di circonferenza, per
esempio tra il punto piu' basso e quello piu' a
destra;durante il percorso ci si sposta di n righe e di n
colonne; ad ogni cambio di riga o di colonna si aggiunge un quadretto, e, dal momento che abbiamo escluso il passaggio per i vertici, questi cambi sono tutti differenti, quindi 2*n. Il numero puo' diminuire di
qualche unita' per particolari posizioni del centro. |
Variante
Studiando questo probema, me ne e'
venuto in mente uno nuovo
Dato un foglio a quadretti unitari (nessun limite alle dimensioni
del foglio), voglio tracciare una circonferenza di raggio intero,
con il centro esattamente nel centro di un quadretto, che passi
per almeno uno dei vertici della quadrettatura.
Quali valori puo' avere il raggio?
Risposta di Silvio:
Consideriamo un reticolo di passo mezzo quadretto, aggiungendo
orizzontali e verticali, magari tratteggiate, ai qudretti di
partenza.
In questo sistema di riferimento i vertici dei quadretti
originali sono rappresentati dai punti di coordinate dispari,
rispetto al centro della circonferenza.
Se il raggio deve essere intero in quadretti, sara' intero (e
pari) se misurato in mezzi quadretti. Il problema si riduce
quindi alla ricerca di una terna pitagorica che abbia entrambi i
cateti dispari, e non mi pare ne esistano.
Paolo:
Infatti, se D è un qualsiasi numero dispari (D=2*K+1),
allora
D^2=4*K^2+4*K+1, cioe'
D^2==1(mod 4);
quindi la somma dei quadrati dei cateti dovrebbe essere
S==2(mod 4)
mentre il quadrato dell'ipotenusa è
Q==0(mod 4) se l'ipotenusa e' pari (come nel nostro caso), o
Q==1(mod 4) se l'ipotenusa e' dispari.
f003 Il quarto punto
A, B e C sono tre punti distinti su di
una circonferenza K.
Piazzare un >quarto punto su K in modo che all'interno del
quadrilatero formato dai 4 punti sia possibile inscrivere una
circonferenza.
Risposta di Paolo
Bel problema, mi ha fatto penare un bel po', comunque ci
provo:
Intanto il problema dovrebbe ammettere tre soluzioni; infatti
considerato il triangolo ABC possiamo eliminare uno dei tre lati
a scelta per sostituirlo con due lati nuovi del quadrilatero.
Considero la soluzione che mantiene i lati AB e BC e cerco il
punto D.
Se in un quadrilatero ABCD si puo'
iscrivere una circonferenza, devono essere uguali le somme di due
lati opposti:
AB+CD=BC+DA
lo si puo' vedere facilmente considerando le quattro *punte* che
sporgono dalla circonferenza inscritta (gialla
nella figura), formata ciascuna da due segmenti uguali
(insomma, esternamente alla circonferenza iscritta abbiamo 4
*triangoli* isosceli con base arcuata).
Dall'uguaglianza suddetta deriva che
DA-CD=AB-BC
cioe' la differenza tra le lunghezze dei due lati nuovi deve
essere uguale alla differenza nota tra i due lati dati.
Come abbiamo visto recentemente in un altro thread, cio'
significa che il punto D deve appartenere ad una iperbole (luogo
dei punti tali che sia costante la differenza tra le distanze dai
fuochi A e B).
A questo punto, se sapessi traciare l'iperbole, l'intersezione di
questa con la circonferenza mi darebbe il quarto punto D.
Pero'... non so tracciare l'iperbole:-(
Provo allora graficamente, per approssimazioni successive traccio
un arco con centro in A e raggio R arbitrario,ed un altro arco
con centro in B e raggio R-delta (dove delta=AB-BC) (vedi archi blu in figura)
Normalmente l'intersezione dei due archi NON sara' sulla
circonferenza;
procedo allora per tentativi, incrementando o decrementando i
raggi dello stesso valore, (archi celesti)
finche' l'intersezione (archi gialli)
sara' sulla circonferenza, nel punto D cercato.
Graficamente, con Autocad, dopo 4 o 5 tentativi ho trovato una
approssimazione accettabile.
Risposta di Silvio
Si puo' risolvere con la trigonometria:
sia 2a l'angolo AOB, 2b l'angolo BOC (noti) e 2x l'angolo COD
(incognito).
la relazione sui lati diventa:
2sin(a)+2sin(x)=2sin(b)+2sin(180-a-b-x), ovvero
sin(a)+sin(x)=sin(b)+sin((a+b)+x)
sin(a)+sin(x)=sin(b)-sin(a+b)cos(x)-cos(a+b)sin(x)
che e' una normale equazione trigonometrica in sin e cos, da
risolvere tenendo presente la limitazione 0<x<180-(a+b)
f004 Tre altezze
C'e' un triangolo con 3 altezze intere.
Due misurano rispettivamente 9 e 29.
Quali valori puo' assumere la terza ?
Risposta
qualsiasi intero tra 7 e 13.
Sia S il doppio dell'area del triangolo;
due lati misurano a=S/29 e b=S/9
il terzo lato, compreso tra la somma e la differenza dei primi
due, puo' variare tra
S*(1/9+1/29) e S*(1/9-1/29), cioe'
S*38/261 > c > S*20/261
quindi la terza altezza h=S/c deve essere
261/38 < h < 261/20
f005 Cinque punti
Dimostrare che in un quadrato di lato 1 m, prendendo a caso 5 punti all'interno, ve ne sono sempre almeno 2 di essi distanti fra di loro di meno di sqrt(2)/2 m.
Risposta
Basta dividere il quadrato in quattro parti uguali tramite
gli assi dei lati, formando 4 regioni quadrate, per capire che
almeno 2 punti saranno nella stessa regione. Siccome la distanza
minima fra 2 punti della stessa regione è uguale alla diagonale
del quadratino, essa vale sqrt(2)/2.
f006 Tagliare una torta
Trovare un insieme di tagli di lunghezza
complessivamente *minima*, tale da dividere una torta quadrata di
lato unitario in 4 pezzi di area identica.
Naturalmente, a chi indovina gli regalo la torta...
E' stata trovata una soluzione con un taglio lungo 1.999105585
ma. più che la soluzione (e forse anche più della vincita della torta :-), credo che sia interessante seguire l'intera discussione, coma apparsa nel NG, che mostra come si sia giunti a quel risultato per passi successivi, attraverso un lavoro corale.
f010 Compasso
Con un compasso ad apertura fissa
traccio un cerchio sul piano ed un'altro cerchio sulla superfice
di una sfera abbastanza grande.
Quale delle due aree e' maggiore ?
Risposta di Pikkio
Sono uguali, indipendentemente dall'apertura del compasso
e dalle dimensioni della sfera; evidentemente il raggio della
sfera non potrà essere minore di 1/2*Rc (apertura del compasso),
altrimenti non sarà possibile disegnare nulla.
Dimostrazione:
Chiamiamo H l'altezza del settore sferico individuato tracciando
un cerchio di raggio reale Rr sulla sfera di raggio Rs con il
compasso ad apertura Rc.
Sarà:
Rr=sqrt(Rc^2-H^2)
Rr=sqrt(Rs^2-(Rs-H)^2)
Per cui:
Rc^2-H^2=Rs^2-Rs^2-H^2+2*Rs*H
Semplificando e moltiplicando per pi greco entrambi i membri:
pi*Rc^2=2*pi*Rs*H
che sono esattamente le superfici del cerchio piano di raggio Rc
(1° membro) e del settore sferico individuato tracciando un
cerchio sulla sfera di raggio Rs con il compasso ad apertura Rc
(2° membro).
f011 Quadrato Luminoso
16 lampadine sono disposte in modo da
formare un quadrato 4*4
Con un interruttore elettronico, possiamo invertire (accendere se
spente, spegnere se accese) lo stato di tutte le lampadine di una
fila orizzontale o verticale a scelta.
Inizialmente e' accesa un sola lampadina, p.es. quella all'angolo
in basso a
sinistra.
Qual e' il numero minimo di mosse per avere tutte le luci accese?
Da: "GaS"
Dopo averci sbattuto un po la testa sono arrivato
allla conclusione che...
non e' possibile arrivare alla soluzione richiesta. Questo si puo
vedere effettuando un controllo di parità (cosa che ho fatto
dopo mezzora di tentativi).
Se denotiamo (per es.) la lampadina accesa con il dispari e la
lampadina spenta con il pari si vede che ad ogni cambio di riga
(colonna) la parità del sistema rimane invariata ma la
disposizione iniziale (1 lampadina accesa) corrisponde ad un
sistema dispari mentre la disposizione finale (tutte accese)
corrisponde ad un sistema pari: e' percio impossibile passare da
un sistema all'altro.
Da: "Massimo Mondò"
...esiste una posizione qualsiasi tale che nel quadrato sia
possibile una soluzione ?
Da: "Giovanni Ravesi"
> ...esiste una posizione
qualsiasi tale che nel quadrato sia possibile una soluzione ?
Partendo da un numero dispari di caselle accese, ovunque ubicate,
non sarà mai possibile accenderle tutte
f019 Cubetti
Da bambino ricevetti un bellissimo
regalo da mio zio falegname, una serie di cubi di legno di
dimensione differente, con i lati 1,2,3.......11,12.
Per rendere la serie più allegra e stimolante dipinsi ciascun
cubo con un colore differente. Ricordo di essermi divertito
parecchio nel manipolare e pesare questi cubi. Ora ho ritrovato
un mio vecchio quaderno con alcune annotazioni riguardanti il
loro peso:
a) giallo + nero = oro + smeraldo
b) porpora = rosso + argento + viola
c) nero + celeste + viola + porpora = smeraldo + oro + indaco +
argento + bianco + giallo
d) oro = indaco + porpora + giallo
Mi piacerebbe riprodurli nella colorazione originale. Quale era??
soluzione di Giorgio vecchi
a) 1+1728=729+1000
b) 216=125+64+27
c) 1728+343+27+216=1000+729+512+64+8+1
d) 729=512+216+1
1 giallo
2 bianco
3 viola
4 argento
5 rosso
6 porpora
7 celeste
8 indaco
9 oro
10 smeraldo
11 (il colore non specificato)
12 nero