I metodi iterativi raggiungono la soluzione X del sistema lineare attraverso un numero infinito di passi. Se il metodo converge velocemente il costo computazionale può mantenersi sotto l’ordine di n³ operazioni. Questi sono importanti perché spesso risultano più veloci e precisi dei metodi diretti, specialmente per matrici di grandi dimensioni. Essi possono anche essere usati per "raffinare'' una soluzione ottenuta con un metodo diretto. Inoltre si prestano bene a sfruttare eventuali proprietà di sparità delle matrici.

Concetti base

I metodi iterativi si basano sull’idea di calcolare una successione di vettori x^(k) tali che

 X=Lim x^(k)

k®¥

con X soluzione del sistema. Se tale condizione è soddisfatta allora il metodo è CONVERGENTE.

Il metodo di solito comincia fissando un

 x⁽⁰⁾ e cercando

x^(k+1)=Bx^(k)+f

 dove B è un matrice quadrata n x n detta di ITERAZIONE e f un vettore che si ottiene dal termine noto b.

 Consistenza: Data X=soluzione esatta se x^(k)=X per qualche k>0 allora x^(k+1)=x^(k+2)=…=x^(k)

Convergenza: Per ogni x⁽⁰⁾ se e solo se r(B)<1(detto raggio spettrale della matrice di Iterazione)