Metodo di Jacobi

Questo metodo appartiene alla classe di quelli iterativi,dato un x⁽⁰⁾ arbitrario di partenza si calcola x^(k+1) con la seguente formula:

$\begin{displaymath}x_i' = {1\over a_{ii}} \left( b_i -\sum_{j\neq i}a_{ij}x_j \right) . \end{displaymath}$

In un metodo iterativo si parte da una stima `attuale' ${\bf x}$ che in genere non soddisfa quest'ultima equazione. Tuttavia possiamo pensare di trovare una stima migliore ${\bf x}'$ imponendo che l'uguaglianza $\begin{displaymath}a_{ii} x_i = b_i - \sum_{j\neq i}a_{ij}x_j . \end{displaymath}$

sia verificata con ${\bf x}'$ a sinistra e ${\bf x}$ a destra

Da cui dato il sistema nella forma Ax=b si ha

B=D^–1(E+F) f=D^-1b

La matrice A

A11	A12	A13
A21	A22	A23
A31	A32	A33

Dove D è la matrice diagonale costruita con gli elemanti diagonali di A

A11	0	0
0	A22	0
0	0	A33

-E è la matrice triangolare inferiore

0	0	0
A21	0	0
A31	A32	0

-F la matrice triangolare superiore

0	A12	A13
0	0	A23
0	0	0

In pratica il metodo iterativo usato è il seguente:

x^(k+1)= D^-1(E+F) x^k+ D^-1b