Con il termine M.E.G. indicheremo d'ora in avanti il Metodi di Eliminazione di Gauss.

Ci occupiamo ora del caso di una matrice A (n x n) di forma generale e non singolare e ricordiamo il seguente risultato dall'algebra lineare:

 "Se si sottopone il sistema A x = b ad operazioni del tipo seguente:

il sistema che ne risulta, che indicheremo nel seguente modo: è

 equivalente al precedente

 ovvero la matrice è anch'essa non singolare ed ammette la stessa soluzione

."

Questo metodo trae spunto dal risultato precedente. L'idea è di ridurre il sistema di partenza in un altro in cui =U (matrice  triangolare superiore) e per il quale la soluzione possa essere facilmente ottenuta con l'algoritmo delle sostituzioni all'indietro. Ciò viene fatto "mettendo a zero" la parte triangolare inferiore dalla matrice A, procedendo dalla prima fino alla (n-1)-esima colonna in modo sequenziale.

Il criterio che si segue il questo processo è basato sulla seguente osservazione:

 se per qualche k e j, , allora si può eliminare l'incognita da ogni equazione i>k aggiungendo all'equazione i-esima ( )-volte l'equazione k-esima.

Quesito: esistono matrici A non singolari per le quali il MEG non si può applicare?   Evidentemente sì, ogniqualvolta si genera un elemento pivotale ( ) nullo.

Osservazioni: Sia la sottomatrice principale di A di ordine k. Si può verificare che det. = E pertanto si evince che il metodo di Gauss si può portare a termine se e solo se le matrici per sono tutte non singolari.

Rimedio: Si può ricorrere alla cosiddetta tecnica del pivoting, seconda una delle 2 modalità riportate sotto:.

Pivotazione Parziale: si scambiano fra loro le righe, prendendo il termine più grande, in valore assoluto, della colonna e scambiandolo con quello in questione.

Pivotazione Totale: si scambiano fra loro righe e colonne, ma tenendo bene presente che scambiando le colonne tra loro cambiano anche le incognite.