Ricordate il gruppo delle isometrie piane del rettangolo ?

Avevamo indicato con r la rotazione in senso orario di p attorno al centro del rettangolo, con t_h la riflessione rispetto all'asse di simmetria orizzontale e con t_v la riflessione rispetto all'asse di simmetria verticale:

Il gruppo delle isometrie di un rettangolo è l'insieme

G ={id, r, t_h, t_v}

con seguente tavola di moltiplicazione:

Che noia i rettangoli,  molto meglio una bella scacchiera quadrata:

Quante sono le isometrie di una scacchiera quadrata? La presenza di due colori diversi ci fa intuire che saranno sicuramente in numero inferiore rispetto a quelle di un quadrato e in effetti è immediato verificare che sono solo quattro: l'identità id, la rotazione r di p radianti in senso orario attorno al centro della scacchiera, le riflessioni t_Ae t_B rispetto alle due diagonali:

La tavola di moltiplicazione si ricava immediatamente e si trova che il gruppo delle isometrie di una scacchiera è l'insieme

G^' = {id, r, t_A, t_B}

con seguente tavola di moltiplicazione:

Affianchiamo le tavole moltiplicative delle isometrie del rettangolo e della scacchiera

e intuiamo che questi due gruppi non sono poi così diversi. Tanto per cominciare, i due gruppi hanno entrambi quattro elementi e poi sembra che il prodotto tra elementi avvenga nello stesso modo, è come se quello che cambia siano i nomi di alcuni elementi , altrimenti le due tavole sarebbero indistinguibili. Per tradurre nel linguaggio della matematica questa intuizione, definiamo la funzione

e, a partire dalla tavola delle isometrie del rettangolo, costruiamo una nuova tavola sostituendo ogni elemento con la sua immagine tramite j

La tavola così ottenuta è proprio quella delle isometrie della scacchiera. Come si traduce il fatto che le due tavole sembravano definire la stessa operazione se si astraeva dai nomi degli elementi? Intendevamo dire che j(a_°b) = j(a)_°j(b)   "a,bÎG, ad esempio j(t_h)_°j(r) = j(t_v) = j(t_h°r)

I due gruppi quindi non sembrano molto diversi.

Qualcuno potrebbe obiettare che la cosa non è poi così sorprendente, infatti si tratta in entrambi i casi di gruppi di isometrie di una figura piana e l'operazione di entrambi i gruppi è la composizione di isometrie.

Facciamo un altro esempio. Una isometria del rettangolo determina, come noto, una permutazione dei vertici

Ebbene l'insieme G^''  = {id, (A C)(B D), (A D)(B C),(A B)(C D)} è un gruppo rispetto al prodotto di permutazioni ed ha la seguente tavola moltiplicativa:

Se definiamo la funzione (usiamo ancora il simbolo j per semplicità)

è evidente come si passi tramite j dalla tavola  moltiplicativa di G alla tavola moltiplicativa di G^'' :

Ancora una volta, a parte il nome degli elementi, si tratta della stessa tavola, dato chej(a_°b) = j(a)_°j(b)   "a,bÎG. Notiamo anche che l'operazione, anche se indicata con lo stesso simbolo, è diversa: in  j(a_°b), _° indica l'operazione di G mentre in j(a)_°j(b) indica l'operazione di G^''

Qualche miscredente potrebbe ancora obiettare che anche stavolta c'era da aspettarselo. Le operazioni dei due gruppi sono sì diverse: in un caso composizione di isometrie e nell'altro di permutazioni, ma abbiamo ottenuto le permutazioni dei vertici a partire dalle isometrie del rettangolo e quindi questa somiglianza tra le tavole moltiplicative non sorprende e non si capisce quindi perchè dovrebbe essere matematicamente rilevante.

Abbandoniamo le isometrie e consideriamo questa volta l' insieme numerico G^''' ={1, 3, 5, 7} e come operazione binaria la moltiplicazione modulo 8. Si dimostra immediatamente che questo insieme è un gruppo con la seguente tavola moltiplicativa:

Affianchiamo le tavole moltiplicative di G e G^''' e noteremo subito che si somigliano:

Se definiamo la funzione

è evidente come si passi tramite j dalla tavola  moltiplicativa di G alla tavola moltiplicativa di G^''':

Notiamo che j(a_°b) = j(a)*j(b)   "a,bÎG e quindi ancora una volta, a parte il nome degli elementi e dell'operazione, si tratta in sostanza della stessa tavola moltiplicativa.

Questa volta anche il più incallito tra gli scettici dovrà ammettere di essere rimasto sorpreso: due insiemi con elementi di natura completamente diversa, due operazioni binarie di natura completamente diversa eppure, se astraiamo dalla natura degli elementi e dalla natura dell'operazione, ci verrebbe voglia di dire che i  gruppi G e G^''' sono "uguali", dato che hanno lo stesso numero di elementi e il modo in cui questi elementi vengono moltiplicati è lo stesso. Certo però che la parola "uguali" ci sembra un pò troppo impegnativa e inoltre noi abbiamo fatto solamente esempi di gruppi finiti. E se avessimo gruppi con infiniti elementi? Non posso più dire che sono "uguali" se hanno lo stesso "numero" di elementi e ... Però che cos'era la funzione j degli esempi se non una biiezione? Invece di dire che gli insiemi sostegno hanno lo stesso numero di elementi, posso dire che hanno la stessa potenza.

Consideriamo i gruppi (R, +) e (R ⁺, ·) , dove con R ⁺ indichiamo i reali strettamente positivi. Insiemi sostegno diversi e operazioni diverse, certo sembrerebbe difficile trovare somiglianze tra questi due gruppi, ma i matematici non si arrendono mai. Per iniziare, ricordiamo che un insieme infinito può essere messo in corrispondenza biunivoca con una sua parte propria e, nel nostro caso, una biiezione è ad esempio

Che si tratta di una biiezione si dimostra facilmente ...

Risulta poi j(x+y) = 2^x+y = 2^x·2 ^y = j(x)·j(y)   "x, yÎR

Gli esempi visti giustificano la seguente definizione:

Definizione

Siano dati due gruppi (G, _°) e (G^', à). Una funzione : G®G^' si dice isomorfismo se

• j è biiettiva

• j(a_°b) = j(a)àj(b)   "a,bÎG 

Se esiste un isomorfismo j : G®G^' , si dice che G è isomorfo a G^' e si scrive G ~ G^'

Proposizione

L'isomorfismo è una relazione di equivalenza tra gruppi

Dim.

La funzione identica su G, id_G : G®G  definita da id_G(a) = a "aÎG, è un isomorfismo:

che sia biiettiva è ovvio e inoltre id_G(a_°b) = a_°b = id_G(a)_°id_G(b)  "a,bÎG 

Abbiamo quindi dimostrato che G ~ G

Consideriamo un terzo gruppo (G^'', ƒ). Se G ~ G^' e G^' ~ G^'' , allora esistono un isomorfismo j : G®G^' e un isomorfismo y : G^'®G^''.

Essendo j e y   biiettive, il   prodotto operatorio y _°j è una funzione biiettiva e inoltre

y(j(a_°b)) = y(j(a)àf(b)) = y(j(a))ƒy(j(b)) = y(j(a))ƒy(j(b)) "a,bÎG 

Il prodotto operatorio y _°f : G®G^'' è dunque un isomorfismo e quindi G ~ G^''

Resta da dimostrare che se G ~ G^', allora G^' ~ G

Se G ~ G^', allora esiste un isomorfismo j : G®G^' . Essendo j biiettiva esiste la funzione inversa j ^-1 : G^'®G , anch'essa biiettiva. Devo far vedere che

j ^-1(a^' à b^' ) = j ^-1(a^' ) _° j ^-1(b^' )   "a^',b^'ÎG^'

Si può fare in due modi: sfruttando il fatto che j è iniettiva oppure che j è suriettiva:

j(j ^-1(a^' à b^' )) = a^' à b^'   "a^',b^'ÎG^'

j(j ^-1(a^' ) _° j ^-1(b^' )) =  j(j ^-1(a^' )) à j(j ^-1(b^' )) = a^' à b^'    "a^',b^'ÎG^'

Essendo j iniettiva,  j( j ^-1(a^' à b^' )) = j( j ^-1(a^' ) i j ^-1(b^' )) j ^-1(a^' à b^' ) = j ^-1(a^' ) _° j ^-1(b^' )

Essendo j suriettiva, $a,bÎG: a^' = j(a) e b^' = j(b) e quindi

j ^-1(a^' à b^' ) = j ^-1(j(a) à f(b) ) =j ^-1(j(a_°b) ) = a_°b

j ^-1(a^' ) _° j ^-1(b^' ) = j ^-1(j(a) ) _° j ^-1(j(a) ) = a_°b

Osservazione

Notiamo che, nella dimostrazione appena conclusa, le ipotesi che f fosse biiettiva e che fosse un morfismo sono state utilizzate in maniera disgiunta: nel far vedere che il prodotto operatorio di due isomorfismi è un isomorfismo... e da qui lo spunto per la definizione di omomorfismo...

Quando abbiamo due gruppi isomorfi è come se ci trovassimo di fronte a due mondi paralleli. Per rendere visivamente evidente questo fatto, utilizziamo una notazione "colorata". Supponiamo infatti di avere due gruppi isomorfi, un gruppo "verde" (G, _°) e un gruppo "rosso" (G, _°) e sia j : G ®G un isomorfismo. Il gruppo verde G ha l'operazione verde _° e il gruppo rosso G ha, pensate un pò, l'operazione rossa _°. Gli elementi che appartengono al gruppo verde G verranno indicati con lettere verdi, ad esempio scriveremo aÎG. I più perspicaci avranno già intuito che gli elementi che appartengono al gruppo rosso G verranno indicati, incredibile dictu, con lettere rosse! Ora ci serve una notazione che renda visivamente immediata la funzione j : G ® G. Se aÎG , allora j(a)ÎG e quindi non c'è miglior notazione che porre a = j(a):

Nella figura seguente rendiamo più evidente la biiezione j : G ®G

L'isomorfismo j : G ®G conserva le operazioni gruppali:

j(a_°b) = j(a)_°j(b) = a_°b "a,bÎG 

Eliminando il passaggio intermedio, si ha dunque, con la nostra notazione,

j(a_°b) = a_°b "a,bÎG 

Graficamente si ha la seguente situazione:

Carino, non è vero? Tramite j siamo passati dal mondo verde al mondo rosso e nel far questo non solo si deve sostituire a con a e b con b, ma anche l'operazione verde _° con l'operazione rossa _°

Questo significa che è la stessa cosa ...

La j(a_°b) = a_°b "a,bÎG   si può anche rappresentare con il seguente diagramma commutativo

dove

Essendo j : G ® G un isomorfismo, anche la funzione inversa j ^-1 : G ® G è un isomorfismo e quindi

j ^-1(a_°b) = a_°b "a,bÎG 

Un isomorfismo è una biiezione che conserva le operazioni. Tutto qui? Vediamo come le conseguenze siano molte ed importanti. La proposizione che segue ci fornirà la risposta.(poi in una osservazione commentare la dimostrazione e far vedere che alcuni risultati sono validi anche se non si richiede la biiettività).

Abbandoniamo per il momento la nostra notazione colorata, torniamo alla tradizione.

Proposizione

Siano dati due gruppi (G, _°) e (G^', à) e un isomorfismo j : G®G^' . Risulta

• j(u) = u'

• j(a ^-1) = [j(a)] ^-1 "aÎG

• j(a ⁿ) = [j(a)] ⁿ "aÎG,    "nÎZ

• a_°b = b_°a j(a)àj(b)=j(b)àj(a),   a,bÎG

• G è abeliano G^' è abeliano

• o(a) = o(j(a)) "aÎG

• G è ciclico G^' è ciclico

• S<G j(S)<G^{'   ???}

Dim.

Osservazione

Notiamo che, in alcune dimostrazioni, le ipotesi che j fosse biiettiva e che fosse un morfismo sono state utilizzate in maniera disgiunta...