11.3

bae a de nantis                       torra a segus

In su 1777 su filosofu naturale Georges Louis Leclerc, conte de Buffon, si domandesit: si tiramus un agu de longhesa d a pizu de su panimentu de unu aposentu a intaulau inue sas taulas funi largas c, essende sa longhesa de s'agu prus manna de sa larghesa de sas taulas, cal'est sa probabilidade chi s'agu nde ruat a traessu de una taula a s'atera? Su conte de Buffon naschesit in su 1707 e si morzesit in su 1788. Est istau unu de sos prus mannos naturalistas franzesos de onni tempus e hat tentu una fortuna manna de che biver in d unu seculu in su cales sos omines de cultura podian diventare famados in su mundu in campos diferentes de sas sienzias. Mancari chi a unu primu intender parzat jogulianu e vanu, su problema de su conte de Buffon pesat chistiones profundas in sas matematicas: po sos tempos suos in su carculu diferenziale, po sos tempos nostros in sa teoria de sos algoritmos, e po totus sos tempos a ischire si su numeru chi apresentat sa probabilidade de unu eventu siat aberu o nono una frazione, e tando unu numeru razionale, pesada ponendeche in su numeradore su numeru de sos casos a favore e in su denominadore su numeru de totus sos casos possibiles. Pesamus unu graficu po nos faer a cumprender in sos arresonamentos nostros.

l1=Graphics[{RGBColor[1,0,0],Thickness[0.006],
Line[{{0,0},{1,0}}]}];
l2=Graphics[{RGBColor[1,0,0],Thickness[0.006],
Line[{{0,1.075},{1,1.075}}]}];
l3=Graphics[{RGBColor[0,0,1],Thickness[0.006],
Line[{{0.2,0.4},{0.8,1.3}}]}];
l4=Graphics[{RGBColor[0,0,1],Thickness[0.006],
Line[{{0.2,0.85},{1,0.85}}]}];
l5=Graphics[{RGBColor[0,0,1],Thickness[0.006],
Line[{{0.2,1.3},{1,1.3}}]}];
l6=Graphics[{RGBColor[1,0,0],Thickness[0.006],
Line[{{0.,0.},{0.,1.5}}]}];
l7=Graphics[{RGBColor[1,0,0],Thickness[0.006],
Line[{{0.5,0.3},{0.5,1.5}}]}];
l8=Graphics[{RGBColor[1,0,0],Thickness[0.006],
Line[{{0.3,0.85},{0.3,1.075}}]}];
et1=Graphics[Text[FontForm["A",
{"Palatino-Italic",17}],{0.2,0.25}]];
et2=Graphics[Text[FontForm["B",
{"Palatino-Italic",17}],{0.87,1.45}]];
et3=Graphics[Text[FontForm["C",
{"Palatino-Italic",17}],{0.55,0.76}]];
et4=Graphics[Text[FontForm["H",
{"Palatino-Italic",17}],{0.55,1.17}]];
et5=Graphics[Text[FontForm["K",
{"Palatino-Italic",17}],{0.55,1.39}]];
et6=Graphics[Text[FontForm["x",
{"Palatino-Italic",16}],{0.25,0.96}]];
et7=Graphics[Text[FontForm["theta",
{"Palatino-Italic",16}],{0.72,0.96}]];
et8=Graphics[Text[FontForm["c",
{"Palatino-Italic",16}],{-0.1,0.5}]];
et9=Graphics[Text[FontForm["iscanaladura",
{"Palatino-Italic",16}],{0.6,0.1}]];
arc=Graphics[{RGBColor[1,0,0],Thickness[0.006],
Circle[{0.5,0.85},0.1,{0,1.}]}];

primugraficu=
Show[l1,l2,l3,l4,l5,l6,l7,l8,et1,
et2,et3,et4,et5,et6,et7,et8,et9,arc,
AspectRatio->1];

Si leet su puntu de mesu de s'agu AB in su graficu sinnau cun C. Leamus in cunsideru duas iscanaladuras parallelas tra sas taulas de s'intaulau a traessu de sas cales podet ruer s'agu. S'agu podet esser un' agu longa, po esempiu un'agu de banita, o finzas un'agu e mizzas o de faer corpitos. In pizu de s'intaulau sa posizione de s'agu est ispezificada bene una orta po totus dae sa distanzia x de su puntu e mesu de s'agu a sa iscanaladura prus acanta e siat tando x=CH, e dae s'angulu theta chi s'agu faet cun su versu a manu ereta de s'iscanaladura e totu. Dae su graficu si biet chi s'agu podet intersecare sa iscanaladura solu si CK est prus mannu de CH: CK>CH. Leamus in cunsideru su triangulu rettangulu CKB: est cosa notoria po costruzione nostra chi CB est sa metade de sa longhesa de s'agu: CB=d/2. Apricande unu teorema fazile de trigonometria, ( unu catetu misurat su produttu de sa ipotenusa po su sinu de s'angulu oppostu, e s'angulu in B misurat theta ca si tratat de angulos alternos internos in duas parallelas pesaos dae una trasversale), tenimus chi CK=d/2 Sin[theta]. Po costruzione nostra CH misurat x, e tando s'agu intersecat sa iscanaladura de sa taula si d/2 Sin[theta ]> x . Leamus in cunsideru unu riferimentu in su planu cartesianu (theta,x) inue in sa ascissa ponimus theta e in sa ordinada ponimus x. Ddu podimus faer ca non fun sos numenes chi faen sas cosas. Theta variat dae zero a sa metade de pigrecu, e x variat dae zero a c/2, sa metade de sa longhesa de sa taula de s'intaulau.; siat tando M( theta, x) su puntu de mesu de s'agu. Pesamus aterunu graficu. Ponimus sa longhesa de s'agu uguale a ses unidades.

x[theta_]:=6/2 Sin[theta]
disunu:=Plot[x[theta],{theta,0,N[Pi/2]},
DisplayFunction->Identity];
puntu:=Graphics[{RGBColor[0,0,0],
PointSize[0.02],Point[{1,1}]}];
coord=Graphics[Text[FontForm["M",
{"Palatino-Italic",20}],{1.2,1.2}]];
l10=Graphics[{RGBColor[0,0,1],Thickness[0.006],
Line[{{-0.2,0},{N[Pi/2],0}}]}];
l11=Graphics[{RGBColor[0,0,1],Thickness[0.006],
Line[{{N[Pi/2],0.},{N[Pi/2],4.}}]}];
l12=Graphics[{RGBColor[0,0,1],Thickness[0.006],
Line[{{0.,0.},{0.,4.}}]}];
l13=Graphics[{RGBColor[0,0,1],Thickness[0.006],
Line[{{0.,3.},{N[Pi/2],3.}}]}];
l14=Graphics[{RGBColor[0,0,1],Thickness[0.006],
Line[{{0.,4.},{N[Pi/2],4.}}]}];
et10=Graphics[Text[FontForm["d/2",
{"Palatino-Italic",16}],{-0.1,3}]];
et11=Graphics[Text[FontForm["c/2",
{"Palatino-Italic",16}],{-0.1,4}]];
Show[disunu,puntu,coord,l10,l11,l12,l13,l14,
et10,et11,
AspectRatio->1,
Ticks->None,
DisplayFunction->$DisplayFunction];

Sa curva de sa cales hamus pesau su graficu est x=d/2 Sin[theta], e su puntu M est su puntu de mesu de s'agu: coment'hamus bistu s'agu intersecat s'iscanaladura solu si arresurta x<d/2 Sin[theta], est a narrer chi custa disecuazione benit soddisfada de s'area posta sutta sa curva, inue hamus disinnadu su puntu M. E tando sos casos possibiles fun rapresentados dae s'area de su rettangulu sa base de su cales misurat Pi/2 e s'artaria c/2. Custa area enit a esser :

casospossibiles=Pi/2*c/2

c Pi
----
4

Sos casos favorevoles han a esser rapresentaos dae s'area chi abarrat suta de sa curva. Dd'hamus a carculare pesande un integrale definiu de sa funzione x dae zero a sa metade de pigrecu.

casosfavorevoles=
Integrate[d/2 Sin[theta],{theta,0,Pi/2}]

d
-
2

Sa probabilidade chi s'agu de Buffon intersechet una iscanaladura de s'intaulau de domo sua est tando:

prob=casosfavorevoles/casospossibiles

2 d
----
c Pi

Est una formula de impinnu mannu.