*
12.2
Cale est sa probabilidade in su jogu de su lotto chi su numeru prus mannu de sa cuintina piscada in Napuli siat prus piticcu de su numeru prus piticcu de sa cuintina piscada in Casteddu? Po esempiu si sa cuintina essia in Napuli est 7, 10, 15, 25 e 70, su numeru prus mannu de totu cuddos bessios est 70. Si sa cuintina essia in Casteddu est 21, 27, 58, 60 e 85 su numeru prus piticcu de totus sos ateros est 21, e s’eventu chi semus ispettande non s’est acrarau. A su contrariu si sa cuintina piscada in Napuli est 1,2,3,4,5 su numeru prus mannu est chimbe, e si cudda piscada in Casteddu est fatta de sos numeros 10,11,12,13,14, su numeru prus piticcu risurtat a essere 10 e su eventu s’est verificau, ca chimbe est prus piticcu de deghe. E tando semus chistionande de unu eventu possibile de su cale si podet carculare sa probabilidade chi s’acraret o nono. Custu problema est in d unu situ de internet chi prumitit unu premiu a chie nde dd irboligat. Si nde depen esser irmentigaos ca nissunu hat mai pensau a ddi risponder. Po nd isorber s’imboligu a primu a primu faimus custos cunsideros esemplificatorios: ponimus de tenner a disposiziones nostras duos botos identicos e uguales cun sa matessi cumposizione chi est de ses balligheddas de irdu numeradas de unu a ses. De unu boto nde piscamus una in fatu ‘e s’atera duas ballas chena che ddas torrare a intro e nde leamus annotu de sos numeros. De s’ateru boto faimus sa matessi cosa. Pedimus cale est sa probabilidade chi su numeru prus mannu de sa coppia piscada in su primu boto siat prus piticcu de su numeru prus piticcu de sa coppia piscada in su segundu? Po esempiu si sa coppia piscada de su primu boto est 1 e 3, e sa coppia piscada in su segundu boto est 3 e 4 s’eventu non s’est acraradu, ma si sa coppia est 4 e 6 emo. Siat tando E s’eventu de haer piscau una coppia de numeros in su primu boto chi mi cunsentit de acrarare s’eventu e H sa coppia piscada in su segundu boto chi a condizione chi sa prima coppia siat bona acrarat s’eventu. Si sa prima coppia est {1,2}, sas ateras poden esser {3,4},{3,5},{3,6} o finzas {4,5},{4,6} o finzas {5,6}. Si sa prima coppia est {1,3} sas ateras poden esser {4,5}, {4,6} o finzas {5,6}. Si sa prima coppia est {1,4} s’atera podet esser solu {5,6}. Sighinde s’arresonu si sa prima coppia est {2,3} sas ateras poden esser {4,5},{4,6} o finzas {5,6}. Si sa prima coppia est {2,4} s’unica chi acrarat s’eventu podet esser solu {5,6} e su matessi po sa coppia {3,4} s’unica in su segundu boto podet esser {5,6}. Sa espressione matematica si pesat cunsiderande chi si tratat de unu eventu totale de eventos cumpostos. Est a narrer chi depimus tennere in contu sos teoremas de su produttu e de sa summa de probabilidades:
E={1^2}^(({3^4}v{3^5}v{3^6})v({4^5}v{4^6})v{5^6})v
{1,3}^(({4^5}v{4^6})v{5^6})v
{1,4}^({5,6})v
{2^3}^(({4^5}v{4^6})v({5^6})v
{2^4}^({5^6})v
{3^4}^({5^6}.
Sa probabilidade de faer po esempiu sa coppia {1,2} est una probabilidade cumposta de eventos dipendentes e tando est 1/6*1/5. Totus sas coppias tenen custa probabilidade. Ma si po comente no nos importat s’ordine cun su cales si presentan sos numeros e tando {1,2} est sa matessi cosa de {2,1} in su contu nde depimus tenner contivizu mannu. Ddu cunsideramus postu in evidenzia.
E tando:
p[E]=
2!*2!*((1/6*1/5)*((6*1/6*1/5)+(1/6*1/5)*(3*1/6*1/5)+(1/6*1/5)*(1*1/6*1/5))+
(1/6*1/5)*((3*1/6*1/5)+(1/6*1/5)*(1*1/6*1/5))+
(1/6*1/5)*((1*1/6*1/5))).
Ponende in evidenzia 1/6*1/5 tenimus:
(2!)^2*(1/6*1/5)^2*((6+3+1)+(3+1)+1)).
Onni termine a intro de sa segunda parentis est su numeru de sas cumbinaziones semplizes chi, leaos duos ozetos de sos ses, si poden pesare a manera chi sos numeros chi cuntenen sian prus mannos de su prus mannu de sa coppia giai pesada, a duas a duas. Po esempiu, si cunsideramus sa coppia {1,2} mi abarran sos numeros {3,4,5,6} cun sos cales pesare ateras coppias a manera chi su numeru de issas minore siat prus mannu de duos, e fun: {{3,4},{3,5},{3,6},{4,5},{4,6},{5,6}} ses in totu. Custa si indicat cun Binomial[4,2]. Cando cunsidero sa coppia {1,3} mi abarran sos numeros {4,5,6} cun sos cales peso sas coppias {{4,5},{4,6},{5,6}}, tres in totu chi sun sas cumbinaziones Binomial[3,2]. S’arresonu sighit po induzione. Paret chi si potzat pesare custa formula de carattere generale po coppias:
p[E]=((2!)^2)*(1/n*1/(n-1))^2*Sum[Sum[Binomial[n-i,2],{i,2,n-2}]{k,0,n-3}]. Hamus a bier menzus iscriende como una funzione. Po esempiu su numeru de sas combinazione de batoro cosas a duas a duas est:
Binomial[4,2]
6
Si cherzo ischire cantu a inantis hamus contau:
Table[Binomial[n,2],{n,4,2,-1}]
{6, 3, 1}
Table[Binomial[n,2],{n,3,2,-1}]
{3, 1}
Table[Binomial[n,2],{n,2,2,-1}]
{1}
Ma su disizu nostru podet esser de tenner in d una tabella unica custos resurtaos.
Table[Drop[Table[Binomial[6-k,2],{k,2,4}],k],{k,0,3}]//TableForm
6 3 1
3 1
1
Si nuncas ddos cherimus summare faimus gosi:
Apply[
Plus,
Flatten[
Table[
Drop[
Table[Binomial[6-k,2],{k,2,4}],k],{k,0,3}]]]
15
Finzas a cando chi sa probabilidade nostra est:
Expand[N[((2!)^2)*(1/6 1/5)^2 15]]
0.06666667
Si po esempiu in sos duos botos sas balligheddas fun deghe e che nde piscamus duas de s’unu e duas de s’ateru e cherimus ischire cale siat sa probabilidade chi su numeru prus mannu de sa prima coppia siat prus piticcu de su prus piticcu de sa segunda coppia, tando faimus:
Table[Drop[Table[Binomial[10-k,2],{k,2,8}],k],{k,0,6}]//TableForm
28 21 15 10 6 3 1
21 15 10 6 3 1
15 10 6 3 1
10 6 3 1
6 3 1
3 1
1
Apply[
Plus,
Flatten[
Table[
Drop[
Table[Binomial[10-k,2],{k,2,8}],k],{k,0,6}]]]
210
Expand[N[((2!)^2)(1/10 1/9)^2 *210]]
0.1037104
In chentu estraziones solu deghe ortas podet capitare s’eventu chi pedimus. Ma torrande a su contu de su lotto, sos numeros in totu fun noranta e nde piscamus chimbe in d una orroda e chimbe in s’atera, aconzande sos datos tenimus:
Apply[
Plus,
Flatten[
Table[
Drop[
Table[Binomial[90-k,5],{k,5,85}],k],{k,0,80}]]]
5843355957
Expand[N[((5!)^2)(1/90 1/89 1/88 1/87 1/86)^2 5843355957]]