Geometria descrittiva. P, quella parte della g. che ha per scopo la rappresentazione delle figure spaziali mediante figure di un certo piano detto quadro (o, in casi particolare, mediante figure di una prefissala superficie), in modo che dall'immagine della figura (e, s'intende, dalla conoscenza della legge di rappresentazione) si possa ricostruire la figura spaziale. Ogni insieme di regole che permetta di realizzare tale rappresentazione costituisce un metodo della g. descrittiva. I tnetodi più usati sono. a) metodo di Monge, o della doppia proiezione ortogonale, che consiste nel proiettare ortogonalmente la figura spaziale sopra due piani mutuamente ortogonali, e nel ribaltare poi l'un piano sull'altro; b) metodo dell'assonometria, che consiste nel proiettare ortogonalmente la figura spaziale sopra tre piani mutuamente ortogonali e nel proiettare poi tali tre proiezioni e la stessa figura spaziale sopra il quadro da un centro di proiezione improprio; e) metodo della proiezione centrale e metodo della prospettiva, che consistono nel proiettare la figura spaziale sopra il piano rappresentativo da un centro di proiezione proprio; d) metodo delle proiezioni quotate, che consiste nel proiettare ortogonalmente la figura spaziale sopra un piano e nell'associare a ogni punto-proiezione un numero, indicante la distanza dal piano del punto obiettivo; e) ciclografia, in cui ogni punto è rappresentato da un cerchio orientato avente per centro la proiezione ortogonale del punto sopra il piano rappresentativo e per raggio la distanza del punto dal piano. Poiché sostanzialmente il mezzo coi quale si realizzano i metodi della g. descrittiva è quello di proiettare la figura in uno o più modi, essi si ciiiamano anche metodi di proiezione (v. PROIEZIONE). In ciascuno dei metodi della g. descrittiva, assegnata la legge di rappresentazione, per poterlo utilnlente applicare è opportuno determinare in quali relazioni si traducano le condizioni di appartenenza, di parallelismo, di ortogonalità, come si risolvano le questioni metriche (misure di distanze e angoli, ribaltamenti), i problemi elementari (per es., data la rappresentazione di tre punti non allineati, determinare la rappresentazione del piano che li contiene), ecc. La g. descrittiva permette quindi di sostituire la considerazione di ogni figura spaziale con quella della corrispondente figura piana, e quindi di risolvere problemi spaziali mediante costruzioni piane. Tra le applicazioni tecniche della g. descrittiva ricordiamo la rappresentazione delle superfici topografiche, la teoria delle ombre e del chiaroscuro, la fotogrammetria, la stereotomia o taglio delle pietre.

Geometria proiettiva. E' l'insieme delle proprietà delle figure degli spazi proiettivi, che sono invarianti rispetto alle proiettività, cioè alle trasformazioni direttamente legate alle operazioni di proiezione e sezione; dal punto di vista di Klein la g. proiettiva ha dunque come gruppo fondamentale il gruppo delle proiettività. Le figure, o forme, fondamentali della g. proiettiva (piana o spaziale) sono: forme di prima specie (retta punteggiata, fascio di rette, fascio di piani); forme di seconda specie (piano punteggiato, piano rigato, stella di rette, stella di piani); forme di terza specie (spazio punteggiato, spazio di piani), ecc.; si vede subito che le operazioni di proiezione e sezione mutano (ciascuna forma in una forma della stessa specie. Il concetto basilare della g. proiettiva è quello di birapporto di quattro elementi di una forma di prima specie, in quanto esso è il primo invariante proiettivo. Sono argomenti di studio di tale g. la teoria delle proiettività e delle omografic, la teoria della polarità e dei sistemi nulli, la generazione proiettiva di curve e superfici, ecc. Se le origini della g. proiettivá si possono far risalire agli studi di prospettiva degli artisti dei Rinascimento. la sua sistemazione come disciplina scientifica si ha soltanto con j. V. Poncelet e con K.G.C. Staudt; quest'ultimo, in particolare, ne ha dato una costruzione di notevole perfezione ed eleganza. Verso la fine del sec. i90 la g. proiettiva non sfuggì all'analisi dei fondamenti della g. e della intera matematica; venne così messa in luce la possibilità di presentare la g.. proiettiva come, un sistema ipotetico-deduttivo che poggia su tre tipi di postulati: i) postulati di appartenenza; z) postulati di ordine; 3) POstulati di continuità. Venne così anche messa in maggiore evidenza la legge di dualità della g. proiettiva, già rilevata esplicitamente da J. D. Gergonne e dal Poncelet.