Capitolo 4  

L'INTEGRALE DI FEYNMAN IN GRAVITA' QUANTISTICA

La teoria della relatività generale è una teoria completa: infatti essa prescrive non solo le equazioni che governano il campo gravitazionale, ma anche il moto dei corpi sotto l'influenza di questo campo.

Tuttavia non dà una descrizione completamente soddisfacente dell'universo osservato, per le due seguenti ragioni:

1.

essa tratta il campo gravitazionale in un modo puramente classico, laddove gli altri campi osservati sembrano essere quantizzati;

2.

alcuni teoremi [19] hanno mostrato che essa porta inevitabilmente a singolarità dello spazio-tempo. Le singolarità vengono predette all'inizio dell'espansione attuale dell'universo (il ``big-bang'') e nel collasso delle stelle per formare buchi neri. Nelle singolarità, la relatività generale classica non è più applicabile, e la teoria sarebbe dunque incompleta perché non fornirebbe condizioni al contorno per le equazioni di campo nei punti singolari.

Per entrambe queste ragioni, è auspicabile lo sviluppo di una teoria quantistica della gravità. Non ci sono prescrizioni ben definite per derivare una tale teoria dalla relatività generale classica, ma una tale teoria dovrebbe essere:

• completa
• consistente
• riconducibile alla relatività generale classica per corpi macroscopici e piccole curvature dello spazio-tempo.

Purtroppo non è ancora stata formulata una teoria che soddisfi questi tre requisiti, soprattutto per quanto riguarda il primo e il secondo.

Tentativi di quantizzare la gravità ignorando le proprietà topologiche e semplicemente tracciando diagrammi di Feynman corrispondenti a perturbazioni su uno sfondo di spazio-tempo piatto, non hanno avuto successo: sembra che ci sia una sequenza infinita di parametri di rinormalizzazione indeterminati. Il motivo è che in relatività generale classica, la teoria delle perturbazioni ha un campo limitato di validità. Per esempio, la teoria non può essere trattata come una perturbazione attorno ad uno spazio piatto.

Tuttavia sforzi in varie direzioni hanno portato a risultati parziali che sono così importanti che è difficile credere che non faranno parte di un quadro completo finale.

Il principale approccio per quantizzare la gravità è dato dall'integrale di cammino di Feynman nella formulazione euclidea [20]. Il punto di partenza per questo approccio è la generalizzazione dell' idea di Feynman secondo la quale si può rappresentare l'ampiezza di transizione:

$$\langle \,^3g_f, \phi_f, \,\!^3M_f\vert\,^3g_i,\phi_i,\,\!^3M_i \rangle$$ (4.1)

 

da uno stato iniziale con metrica ³g_i e campi di materia $\phi_i$ su una superficie ³M_i, ad uno stato finale con una metrica ³g_f e campi di materia $\phi_f$ su una superficie ³M_f, come una somma su tutte le configurazioni g e $\phi$ che assumono i dati valori sulle superfici al contorno ³M_i e ³M_f, cioè:

$$\langle\,^3g_f, \phi_f,\,\!^3M_f\vert \,^3g_i,\phi_i, \,\!^3M_i \rangle =\int {\cal D} [g,\phi] \, e^{iI[g,\phi]/\hbar} \; .$$ (4.2)

 

Nella (4.2):

$${\cal D}[g,\phi]$$

è una misura sullo spazio di tutte le configurazioni g e $\phi$, e:

$$I[g,\phi]$$

è l'azione dei campi.

Nella formula di sopra abbiamo implicitamente assunto o che le varietà ³M_i e ³M_f e la regione tra esse compresa siano compatte, nel qual caso si avrebbe un universo chiuso, o che i campi gravitazionali e di materia si annullino in modo opportuno all'infinito spaziale, nel qual caso lo spazio sarebbe asintoticamente piatto.
 

 
1999-03-18