4.2  Gli istantoni gravitazionali

Per metriche lorentziane g, con ``segnatura'' (-+++) e campi di materia $\phi$ reali, l'azione $I[g,\phi]$ è reale e perciò l'integrale di Feynman oscilla e non converge.

Come in meccanica quantistica e in teoria dei campi, si può risolvere questa difficoltà utilizzando la formulazione euclidea dell'integrale di cammino. In tal modo, introducendo una coordinata tempo immaginaria $\tau = i\,t$, l'ampiezza di transizione (4.2) precedentemente considerata, diventa:

$$\langle \,^3g_f,\phi_f,\,\!^3M_f\vert\,^3g_i,\phi_i,\,\!^3M_i \rangle =\int {\cal D} [g,\phi] \, e^{-I_E[g,\phi]/\hbar} \; ,$$ (4.15)

 

dove $I_E[g,\phi]$ rappresenta l'azione euclidea relativa a tutte le metriche definite positive nella continuazione analitica della varietà.

Come nel semplice esempio in meccanica quantistica considerato nel capitolo precedente, ci aspettiamo che il contributo dominante all'integrale di cammino nella versione euclidea, sia dato da metriche e campi vicine a quelle che rappresentano un estremo dell'azione, che siano cioè una soluzione delle equazioni di campo classiche. In effetti ciò è necessario se si vuole riottenere la teoria gravitazionale classica nel limite di sistemi macroscopici e in regioni dello spazio con piccola curvatura.

Utilizzando una approssimazione semiclassica analoga a quella discussa in precedenza, l'ampiezza di transizione (4.15) si può scrivere:

$$\langle \,^3g_f,\phi_f,\,\!^3M_f\vert\,^3g_i,\phi_i,\,\!^3M_i \rangle\simeq e^{-(I_E)_{cl}/\hbar}\, .$$ (4.16)

 

Un tale approccio costituisce una estensione alla teoria della gravitazione delle tecniche istantoniche già discusse, e permette lo studio di fenomeni gravitazionali di tunnelling quantistico, altrimenti proibiti da un punto di vista classico.

Per esempio, le variazioni della topologia spaziale della metrica, come quelle che si possono verificare nel decadimento di un buco nero in un sistema di buchi neri multipli, rappresentano processi classicamente proibiti ^4.1, in quanto la topologia delle superfici tipo-spazio di Cauchy è conservata nell'evoluzione temporale di una teoria classica, come quella di Einstein. Tuttavia un approccio semiclassico della versione euclidea dell'integrale di Feynman permette di studiare questi fenomeni da un punto di vista quantistico, secondo una generalizzazione della formula WKB (3.9) discussa in precedenza.

Un istantone gravitazionale è definito come una soluzione regolare delle equazioni di campo gravitazionali euclidee, ad azione finita. Esso connette due regioni: una iniziale, con metrica ³g_ie sezione spaziale ³M_i, ed una finale, con metrica ³g_fe sezione ³M_f. Come nel caso discusso per la meccanica quantistica, queste regioni devono essere separate da un intervallo tipo-tempo infinito, che deve essere ruotato nel piano complesso tramite una rotazione di Wick $\tau = i\,t$. Le geometrie che sono connesse da tale storia di tunnelling, sono contenute nella quadri-geometria dell'istantone , in modo che gli stati iniziale e finale costituiscano le sue regioni asintotiche.

Per quanto detto è chiaro che non è sempre possibile ottenere degli istantoni gravitazionali che connettano due stati arbitrari [22]. Oltre al fatto che l'azione gravitazionale euclidea non è sempre definita positiva, si verifica che la continuazione euclidea delle soluzioni di alcune equazioni di campo gravitazionali, è regolare solo se la coordinata tempo immaginaria $\tau$ ha periodo finito, come per esempio si verifica nel caso della metrica di Schwarzschild.

Tuttavia recentemente [44] è stato analizzato un caso interessante di istantoni gravitazionali, dati dalle soluzioni euclidee di buchi neri multipli in relatività generale e in presenza di un campo di Maxwell, cioè i buchi neri estremi di Reissner-Nordström (che descriveremo, assieme a quelli di Schwarzschild, nel prossimo capitolo). Nella continuazione analitica, il tempo euclideo non ha periodo finito, e ciò rende possibile l'esistenza di istantoni con regioni asintotiche di topologia differente.

Nel seguito considereremo una interessante generalizzazione nell'ambito della teoria delle corde di queste soluzioni di buchi neri multipli.

 
1999-03-18