Le equazioni di campo si possono ottenere, tramite un approccio variazionale, a partire dall'azione di Einstein-Maxwell che, in unità per cui , è:
(5.20) |
La variazione rispetto alle componenti del tensore metrico porta allora alle equazioni di campo generali di Einstein (4.3):
dove:
(5.21) |
è il tensore energia-impulso dovuto al campo elettromagnetico .
Una coppia delle equazioni di Maxwell si può esprimere nella
forma covariante:
(5.22) |
dove è l'operatore di antisimmetrizzazione su tutte le permutazioni di . Come è noto, questa relazione esprime il fatto che il tensore di campo elettromagnetico è un tensore antisimmetrico chiuso e, come tale, è anche esatto [1], cioè ammette un potenziale vettore; perciò può essere scritto nella forma:
(5.23) |
in tal modo le (5.22) sono automaticamente soddisfatte.
A questo punto, variando l'azione rispetto al potenziale vettore , si può ottenere in forma covariante la seconda coppia delle equazioni di Maxwell per regioni dello spazio prive di cariche:
(5.24) |
o, in forma più compatta:
(5.25) |
dove è l'operatore di differenziazione covariante definito da:
(5.26) |
La risoluzione delle equazioni di campo porta allora all'elemento di linea di Reissner-Nordström che, nelle unità usate, si può scrivere nella forma:
ds2 | = | ||
(5.27) |
dove M è un parametro associato alla massa che crea il campo e Q è un parametro correlato alla carica elettrica o magnetica.
In particolare, nel caso di carica magnetica, che ci interesserà in seguito 5.1, la soluzione per le componenti angolari del tensore è data da:
(5.28) |
Poiché, per grande r, il termine nella metrica può essere ignorato e dato che i corpi celesti in pratica non sono carichi, l'influenza del campo elettromagnetico sulla metrica è trascurabile in astrofisica. Tuttavia l'influenza del termine può diventare importante a livello microscopico, quando gli effetti della meccanica quantistica dominano.
Si noti che la soluzione di Reissner-Nordström (5.27) mostra divergenze nelle componenti della metrica in r = 0 e negli zeri di g00, ossia:
(5.29) |
Come per la soluzione di Scwarzschild, la singolarità in r=0è una singolarità di curvatura non rimovibile (anche se di diversa natura [25]), mentre quelle in sono singolarità di coordinate che possono essere eliminate con una opportuna estensione analitica della metrica. In questo caso tuttavia bisogna distinguere i tre casi: M2 > Q2, M2 = Q2 e M2 < Q2.
1. Per M2 > Q2, le due radici sono reali e distinte. Uno studio delle geodetiche radiali dimostra che la superficie esterna r = r+ rappresenta un orizzonte degli eventi posto a distanza spaziale finita da un qualunque punto esterno ad essa. La superficie interna r = r- rappresenta un altro tipo di orizzonte, detto di Cauchy, che sembra essere instabile per piccole perturbazioni [37].
2. Per M2 = Q2, si ha il caso definito massimamente carico, o estremo, in cui la metrica è singolare in r = 0 e i due orizzonti si fondono nell'unico orizzonte r = r+ = r- = M.
3. Per M2 < Q2, la metrica presenta una sola singolarità in r = 0, in quanto le due radici nella (5.29) diventano complesse. Tuttavia in questo caso una sfera materiale non può subire il collasso gravitazionale perché, per M2 < Q2la repulsione coulombiana prevarrebbe sull'attrazione gravitazionale. L'assenza di orizzonti e l'impossibilità del collasso suggeriscono ciò che Penrose, nel 1969, ha definito come ``ipotesi della censura cosmica'', la quale sostiene che, dal collasso gravitazionale di un oggetto materiale, non si possano formare delle singolarità - in cui le leggi della fisica cessano di valere -, a meno che queste non siano nascoste da un orizzonte; cioè singolarità nude non possono nascere spontaneamente a partire da una situazione iniziale regolare (naturalmente tale ipotesi non preclude la possibilità di singolarità già esistenti, come quella del big-bang).
Per quanto detto la condizione M2 = Q2 rappresenta il caso limite di un buco nero estremo massimamente carico, in cui la repusione coulombiana è tale da bilanciare esattamente l'attrazione node0.oniana [25].
L'importanza del buco nero estremo carico è data anche dal fatto che, secondo i risultati di Hawking [27], un buco nero carico di massa M > Q tende, a causa di un processo quantistico (come vedremo nel prossimo paragrafo), ad evaporare, sino a raggiungere il valore estremo M = Q, al qual punto la temperatura di Hawking si annulla e l'evaporazione cessa. Perciò si ritiene che le soluzioni estreme siano il punto terminale del processo di evaporazione di Hawking e corrispondano a stati fondamentali stabili [26,43].
Nel caso estremo la metrica di Reissner-Nordström assume la forma:
(5.30) |
Con il cambiamento di coordinate , si ha:
(5.31) |
e quindi l'elemento di linea si può scrivere in coordinate isotrope nella forma conforme :
(5.32) |
Si noti che, con questa trasformazione, si è ottenuto un elemento
di linea che è indipendente dalle particolari coordinate spaziali
usate e che più si avvicina alla nozione intuitiva di spazio basata
sulla geometria euclidea.