ds2 | = | ||
(6.20) |
Posto , si ha infine la forma conforme dell'elemento di linea:
ds2 | = | ||
= | |||
(6.21) |
Inoltre, nel caso estremo, il campo dilatonico è dato da:
(6.22) |
e il tensore di Maxwell da:
(6.23) |
Nel limite , la soluzione si riduce a quella di Reissner-Nordström (normalizzando opportunamente ).
Le possibili singolarità per questa metrica si hanno per e (che corrispondono rispettivamente a e r =0). Tuttavia, si noti che per la componente della metrica g00 e il campo dilatonico diventano complessi [41], tranne nei casi in cui k è intero, per cui la soluzione non è prolungabile oltre l'orizzonte.
Un primo metodo per calcolare le singolarità per questa metrica è di vedere il comportamento dello scalare di curvatura. Si ha che :
(6.24) |
per cui in prossimità della superficie troviamo:
(6.25) |
pertanto R è regolare e positivo per tutti i valori di k compresi nell'intervallo , e si annulla per k = 1.
Per completezza osserviamo che, in prossimità di :
(6.26) |
quindi, per tutti i valori di k, R presenta una vera singolarità in .
Per meglio comprendere la natura della superficie in cui c'è una singolarità di coordinate, calcoliamo la geodetica ``space-like'' da un punto a tale superficie; si ha:
(6.27) |
per si ha quindi un orizzonte regolare posto a distanza spaziale infinita per tutti i valori di k.
Tuttavia le geodetiche ``time-like'' relative a questa distanza, e parametrizzate rispetto al tempo proprio ( ), si mantengono finite eccetto che nel limite GHS:
= | |||
(6.28) |
Infine le geodetiche ``light-like'', parametrizzate rispetto ad un parametro sono date da:
= | |||
(6.29) |
Perciò la metrica (6.21) non è geodeticamente completa, in quanto le geodetiche tipo-tempo e tipo-luce hanno un'estensione finita in tutto l'intervallo di k, eccetto che nel limite per k = -1.
Questo significa che, nel caso limite in cui il campo di modulo è disaccoppiato (k = -1), l'orizzonte non è solo a distanza spaziale infinita, ma anche a distanza propria infinita da ogni osservatore causale; invece, in tutti gli altri casi, compreso quello della relatività generale ( ), una particella impiega un tempo proprio finito per raggiungere l'orizzonte, oltre il quale però, in generale, la soluzione non può essere definita. La superficie è dunque singolare se , sia pure in modo più lieve che nel caso di una singolarità di curvatura.
È anche interessante studiare il comportamento della metrica in prossimità delle regioni asintotiche.
Vicino all'orizzonte si ha:
= | |||
= | (6.30) |
la metrica rappresenta, come nel caso particolare di Reissner-Nordström estremo, uno spazio di Bertotti-Robinson, costituito dalla somma di due termini. La quantità al primo termine rappresenta uno spazio-tempo bidimensionale di curvatura costante:
(6.31) |
e rappresenta quindi una pseudosfera H2 (spazio anti-de Sitter) di curvatura costante negativa per tutti i valori di k compresi nell'intervallo , e si riduce allo spazio piatto per il solo caso GHS (k = -1). La quantità al secondo termine è la sfera S2 di raggio , cioè uno spazio bidimensionale di curvatura costante positiva.
Inoltre nel limite estremo, vicino all'orizzonte, il campo magnetico assume il valore costante:
(6.32) |
Infine, per si ha:
(6.33) |
per cui la metrica è asintoticamente piatta all'infinito per ogni k, con il campo magnetico che tende a zero come un monopolo.