Figure - Problemi

f001 Dicubo
proposto da Dario

Cerca due punti A e B, con la massima distanza fra loro, sulla superficie di un dicubo
(un solido 1x1x2).

si intende ovviamente la distanza lungo la superficie del dicubo, non di quella attraverso il solido

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f002 Tondi e quadretti
proposto da Silvio

Su un foglio a quadretti unitari tracciamo una circonferenza di raggio 100.
Se non passa per nessuno dei vertici della quadrettatura, qual e' il massimo numero di quadretti attraversati dalla circonferenza?

Variante
proposta da Paolo

Studiando questo probema, me ne e' venuto in mente uno nuovo
Dato un foglio a quadretti unitari (nessun limite alle dimensioni del foglio), voglio tracciare una circonferenza di raggio intero, con il centro esattamente nel centro di un quadretto, che passi per almeno uno dei vertici della quadrettatura.
Quali valori puo' avere il raggio?

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f003 Il quarto punto
proposto da Silvio

A, B e C sono tre punti distinti su di una circonferenza K.
Piazzare un >quarto punto su K in modo che all'interno del quadrilatero formato dai 4 punti sia possibile inscrivere una circonferenza.

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f004 Tre altezze

C'e' un triangolo con 3 altezze intere.
Due misurano rispettivamente 9 e 29.
Quali valori puo' assumere la terza ?

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f005 Cinque punti.

Dimostrare che in un quadrato di lato 1 m, prendendo a caso 5 punti all'interno, ve ne sono sempre almeno 2 di essi distanti fra di loro di meno di sqrt(2)/2 m.

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f006 Tagliare una torta

Trovare un insieme di tagli di lunghezza complessivamente *minima*, tale da dividere una torta quadrata di lato unitario in 4 pezzi di area identica.

Naturalmente, a chi indovina gli regalo la torta...

vedi anche l'intera discussione come apparsa nel NG

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f007 Geometria triangolare
Da: ""antonio david"" <antonio_d_98@hotmail.com>
Data: venerdì 30 giugno 2000 19.03

Il triangolo ABC equilatero di lato L in figura e' internamente diviso in tre triangoli di lati (30,40,L), (30,50,L) e (40,50,L) come mostrato in figura

          A
          /\
         /* \
        / *  \
       /  30  \
      /   *    \
     /   * *    \
    /  40    *   \
   / *        50  \
  /*             * \
 B------------------C

Calcolare la lunghezza L del lato, possibilmente senza usare metodi numerici approssimati.

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f008 Triangoli e tetraedro

Da: "Paolo Licheri" <paolo.licheri@tin.it>
Data: martedì 4 luglio 2000 12.45

Dato un triangolo generico, di lati a,b,c, voglio costruire un tetraedro che abbia le quattro facce uguali al triangolo dato.

La costruzione e' possibile:
_sempre?
_in alcuni casi?
_mai?

Se possibile solo in alcuni casi, quali sono le condizioni che il triangolo dato deve rispettare?

Se la costruzione e' possibile, quale sara' il volume del tetraedro?

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f009 CIGM14
proposto da Dario

Qual e' il numero minimo di piani appartenenti a tre direzioni, che permettono di dividere lo spazio in modo che il numero delle parti non limitate sia il doppio del numero di quelle limitate ??

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f010 Compasso
proposto da Dario

Con un compasso ad apertura fissa traccio un cerchio sul piano ed un'altro cerchio sulla superfice di una sfera abbastanza grande.
Quale delle due aree e' maggiore ?

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f011 Quadrato Luminoso
proposto da Paolo il 04/07/2000

16 lampadine sono disposte in modo da formare un quadrato 4*4
Con un interruttore elettronico, possiamo invertire (accendere se spente, spegnere se accese) lo stato di tutte le lampadine di una fila orizzontale o verticale a scelta.
Inizialmente e' accesa un sola lampadina, p.es. quella all'angolo in basso a
sinistra.
Qual e' il numero minimo di mosse per avere tutte le luci accese?

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f012 Sorprendente
proposto da Silvio il

Dal sito segnalato da Dario, un problema tratto da "American Mathematical Monthly" del 1921, la cui formulazione mi ha sorpreso alquanto. - AMM 2925 by F. V. Morley:
Prendiamo una circonferenza unitaria divisa in 2n+1 punti.
Quanto vale la somma dei quadrati di tutte le possibili distinte distanze di una coppia di punti? Volendo si possono interpretare come le lunghezze delle diverse diagonali (sono n in tutto, lati compresi) del poligono di 2n+1 lati inscritto in una circonferenza unitaria.
Sul sito il valore c'era, ma non la dimostrazione.
Ci si aspetterebbe seni, radici e pigrechi, invece...

Ciao, Silv:o)
P.S. Dario, tu ce l'hai le annate molto vecchie di AMM?

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f013 Cerchi di Ford
proposto da Silvio Sergio il 14/04/2000

Sulla retta reale, sopra il punto 1/2 (cioe' tangente la retta nel punto 1/2) disegniamo un cerchio di diametro 1/4. Sopra il punto 2/3 disegniamo un cerchio di diametro 1/9.
I due cerchi sono tangenti (controllare...). Incastriamo un cerchio tra i due e la retta. In che punto sara' tangente alla retta?

Generalizzare per due cerchi tangenti in a/c (diametro 1/c^2) e b/d (diametro 1/d^2), con a*d e b*c interi consecutivi.

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f014 L'esagono
proposto da Livio Zucca il 18/12/2000

Questo e' un esagono equilatero ma non regolare: di lato 5, ha la chiave verticale di 8, cosi' potete disegnarlo sulla carta quadrettata. E simmetrico sui due assi.

     _________    ________
    /         \         |
   /           \        |
  /             \       |
 /       |       \      |
/     ___|___     \     | 
\        |        /     |8
 \       |       /      |
  \             /       |
   \           /        |
    \_________/   ______|_
         5

Il problema e' suddividerlo in triangoli rigorosamente simili tra di loro. Nessun trucco. Vince chi usa il minor numero di triangoli. OK?

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f015 Piastrelle di due misure
proposto da Silvio Sergio il 06/12/2000

Dobbiamo riempire una stanza quadrata utilizzando due soli tipi di piastrelle più piccole, quadrate a loro volta, di misure diverse. Di ciascuno tipo ne possiamo usare sei. Non sono ammesse sovrapposizioni o sconfinamenti. Qual è la massima porzione copribile?

A scanso di equivoci: con 7 per tipo potremmo coprire un'area di 36/37 in questo modo:

 ___ ___ _
|   |   |_|_
|___|___|_|_|
|   |   |_|_|
|___|___|_|_|
|   |   |   |
|___|___|___|

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f016 Pentagono
proposto da Dario Uri il 25/11/2000

ABCDE e' un pentagono convesso i cui lati misurano 1,2,3,4,5, ma non necessariamente in questo ordine.
Diciamo che F,G,H,I sono i quattro punti di mezzo dei lati AB,BC,CD,DE rispettivamente.
X e' il punto di mezzo del segmento FH, e Y e' il punto di mezzo del segmento GI.
Se la lunghezza del segmento XY e' un intero, quanto misura il lato AE ?

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f017 Golden ratio
proposto da Livio Zucca il 19/12/2000

Ho tre tavolette quadrate unitarie.
Taglio ciascuna in due parti, con un taglio a piacere, anche non rettilineo. Con i pezzi compongo un quadrato pieno di lato L. Si puo' buttare via un pezzo.

Esempio:

 ___    ___    ___ 
|___|  |___|  | |_|
|___|  |___|  |___| 1

 ___ _ 
|___| |               _
|___|_|              | |_
|___|_| L   e butto: |___|

1/L = 2/3

Se usassi tutto il materiale varrebbe 1/L=1/SQR(3)

Vince chi si avvicina di piu' al rapporto aureo (!)

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f018 Triangolazioni naturali
proposto da Dario Uri il 18/12/2000

Il mio amico argentino Rodolfo Kurchan propone il seguente problema.
I numeri triangolari possono essere rappresentati come rettangoli:

1+2+3 = 2x3
1+2+3+4 = 2x5
1+2+3+4+5 = 3x5
1+2+3+4+5+6 = 3x7
1+2+3+4+5+6+7 = 4x7, 2x14
1+2+3+4+5+6+7+8 = 6x6, 2x18, 3x12, 4x9
1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 5x9, 3x15
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 5x11
......ecc....

Il problema allora, e' quello geometrico di dividere i rettangoli, con linee congiungenti coordinate intere del reticolo, in modo da ottenere n triangoli con aree di 1,2,3,...,n rispettivamente.

Es. di soluzioni:

 ___b_______c
|   |   |   |
|___|___|___| 
|   |   |   | 
|___|___|___|
a

2x3, tracciando le linee ab, ac, si ottengono 3 triangoli appunto di aree 1,2,3.

a __b_______________
|   |   |   |   |   |
|___|___|___|___|___|
|   |   |   |   |   |
|___|___|___|___|___|
        c           d

2x5, tracciando le linee ac, cb, bd, si ottengono 4 triangoli di area 1,2,3,4 rispettivamente.

Per quali altri rettangoli elencati sopra esiste almeno una soluzione ?
Attualmente ho risultati riguardanti 2x3,2x5,4x7,6x6,4x9.

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f019 Cubetti
proposto da Dario Uri il 16/04/1999

Da bambino ricevetti un bellissimo regalo da mio zio falegname, una serie di cubi di legno di dimensione differente, con i lati 1,2,3.......11,12.
Per rendere la serie più allegra e stimolante dipinsi ciascun cubo con un colore differente. Ricordo di essermi divertito parecchio nel manipolare e pesare questi cubi. Ora ho ritrovato un mio vecchio quaderno con alcune annotazioni riguardanti il loro peso:

a) giallo + nero = oro + smeraldo
b) porpora = rosso + argento + viola
c) nero + celeste + viola + porpora = smeraldo + oro + indaco + argento + bianco + giallo
d) oro = indaco + porpora + giallo

Mi piacerebbe riprodurli nella colorazione originale. Quale era??

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f020 Piramidi e arance
Proposto da Dario Uri il 19/04/1998

Alla festa dell'agrumeto, i ragazzi del paese dopo diverse prove, sono riusciti a sistemare tutte le 8500 arance del raccolto in una piramide, che ora e' in bella vista nella piazza del paese.
Come sara' fatta questa piramide ??

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