Test di Friedman

    In alcuni disegni sperimentali ogni soggetto introdotto nello studio è sottoposto ad un certo numero di trattamenti differenti, ed i dati sono riportati secondo una scala ordinale. Questo tipo di disegno sperimentale diminuisce l'influenza della variabilità legata agli individui che è presente quando si confrontano diversi trattamenti utilizzando gruppi formati da individui diversi. Il test di Friedman può essere considerato uno fra i possibili test non parametrici alternativi al test della varianza a due criteri di classificazione.
    Esaminiamo il test di Friedman risolvendo un esempio: un gruppo di 8 soggetti viene sottoposti a quattro trattamenti differenti (A, B, C e D). Se consideriamo le risposte di ogni individuo possiamo indicare un rango che in questo caso avrà un valore compreso fra 1 e 4 (con 1 indichiamo il trattamento che in quell'individuo ha avuto l'effetto minore e con 4 il trattamento con l'effetto migliore). Avremo così una tabella dei ranghi simile alla Tabella seguente.
 
 
n
Trattamento A
Trattamento B
Trattamento C
Trattamento D
1
1
2
3
4
2
3
2
1
4
3
2
4
3
1
4
4
2
1
3
5
1
4
3
2
6
4
3
2
1
7
3
2
1
4
8
3
4
1
2
 
RA = 21
RB = 23
RC = 15
RD = 21

    Sommiamo i ranghi per trattamento: se l'ipotesi nulla è vera, cioé che i trattamenti hanno un effetto simile, i ranghi saranno distribuiti uniformemente nelle diverse colonne della Tabella, inoltre anche le somme dei ranghi avranno dei valori simili. Se invece la distribuzione dei ranghi varia da una colonna all'altra anche i totali delle colonne variano di conseguenza, in questo caso potremo respingere l'ipotesi nulla.
     Con il test di Friedman possiamo verificare se i totali dei ranghi (Rt = RA + RB + RC + RD) differiscono in modo significativo dai valori attesi in base alla variabilità legata al caso. Per calcolare la statistica Fr applichiamo la seguente formula:

dove:
n = rappresenta il numero dei soggetti (righe)
k = rappresenta il numero dei trattamenti o controlli (colonne)
= rappresenta la sommatoria dei quadrati dei totali dei ranghi di tutte le colonne, in questo caso (RA2 + RB2 + RC2 + RD2)

Applichiamo la formula ai nostri dati:
 

    Confrontiamo il valore di Fr nella Tabella dei Valori critici per la statistica di Friedman dell'analisi della varianza per ranghi a due criteri di classificazione. Se il valore Fr osservato supera il valore Fr critico al livello di significatività prescelto, possiamo rifiutare l'ipotesi nulla ed accettare l'ipotesi alternativa. Nel nostro caso con n = 8 e k = 4 il valore Fr ottenuto non supera i valori critici; non siamo perciò in grado di respingere l'ipotesi nulla e riferiamo che i quattro trattamenti non hanno una attività differente.
    Se il numero delle colonne supera 5 o quando il numero dei soggetti è maggiore rispetto a quelli riportati nella Tabella dei valori critici per la statistica di Friedman dell'analisi della varianza per ranghi a due criteri di classificazione la statistica Fr si distribuisce in modo simile a quella del , con un numero di gradi di libertà pari a (k - 1). Possiamo perciò determinare la significatività utilizzando la Tabella dei Valori critici per la distribuzione del  dove per (k - 1) = (4 - 1) = 3 G.L. troviamo che per p = 0,05 il valore critico è 7,82 mentre per p = 0,01 il valore critico è 11,34. Questi valori non vengono superati dalla statistica Fr , quindi ci informano che non è lecito respingere l'ipotesi nulla.
 



 
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