In alcuni disegni
sperimentali ogni soggetto introdotto nello studio è sottoposto
ad un certo numero di trattamenti differenti, ed i dati sono riportati
secondo una scala ordinale. Questo tipo di disegno sperimentale diminuisce
l'influenza della variabilità legata agli individui che è
presente quando si confrontano diversi trattamenti utilizzando gruppi formati
da individui diversi. Il test di Friedman può essere considerato
uno fra i possibili test non parametrici alternativi al test della varianza
a due criteri di classificazione.
Esaminiamo il
test di Friedman risolvendo un esempio: un gruppo di 8 soggetti viene sottoposti
a quattro trattamenti differenti (A, B, C e D). Se consideriamo le risposte
di ogni individuo possiamo indicare un rango che in questo caso avrà
un valore compreso fra 1 e 4 (con 1 indichiamo il trattamento che in quell'individuo
ha avuto l'effetto minore e con 4 il trattamento con l'effetto migliore).
Avremo così una tabella dei ranghi simile alla Tabella seguente.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sommiamo i ranghi
per trattamento: se l'ipotesi nulla è vera, cioé che i trattamenti
hanno un effetto simile, i ranghi saranno distribuiti uniformemente nelle
diverse colonne della Tabella, inoltre anche le somme dei ranghi avranno
dei valori simili. Se invece la distribuzione dei ranghi varia da una colonna
all'altra anche i totali delle colonne variano di conseguenza, in questo
caso potremo respingere l'ipotesi nulla.
Con il
test di Friedman possiamo verificare se i totali dei ranghi (Rt
= RA + RB + RC + RD) differiscono
in modo significativo dai valori attesi in base alla variabilità
legata al caso. Per calcolare la statistica Fr applichiamo la
seguente formula:
dove:
n = rappresenta il numero dei soggetti
(righe)
k = rappresenta il numero dei trattamenti
o controlli (colonne)
= rappresenta la sommatoria dei quadrati dei totali dei ranghi di tutte
le colonne, in questo caso (RA2 + RB2
+ RC2 + RD2)
Applichiamo la formula ai nostri
dati:
Confrontiamo il
valore di Fr nella Tabella dei Valori
critici per la statistica di Friedman dell'analisi della varianza per ranghi
a due criteri di classificazione. Se il valore Fr
osservato supera il valore Fr critico al livello di significatività
prescelto, possiamo rifiutare l'ipotesi nulla ed accettare l'ipotesi alternativa.
Nel nostro caso con n = 8 e k = 4 il valore Fr ottenuto non
supera i valori critici; non siamo perciò in grado di respingere
l'ipotesi nulla e riferiamo che i quattro trattamenti non hanno una attività
differente.
Se il numero
delle colonne supera 5 o quando il numero dei soggetti è maggiore
rispetto a quelli riportati nella Tabella dei valori critici per la statistica
di Friedman dell'analisi della varianza per ranghi a due criteri di classificazione
la statistica Fr si distribuisce in modo simile a quella del ,
con un numero di gradi di libertà pari a (k - 1). Possiamo perciò
determinare la significatività utilizzando la Tabella dei Valori
critici per la distribuzione del
dove per (k - 1) = (4 - 1) = 3 G.L. troviamo che per p = 0,05
il valore critico è 7,82 mentre per p = 0,01 il valore critico è
11,34. Questi valori non vengono superati dalla statistica Fr
, quindi ci informano che non è lecito respingere l'ipotesi nulla.
|
|
|
|