Scomposizione delle
tabelle di contingenza: partizione dei gradi di libertà in tabelle
r x 2
Nell'esempio relativo al confronto di tre farmaci
A, B e C il test del 
ha rivelato che esiste una differenza fra l'efficacia dei tre farmaci,
ma non ha individuato i farmaci responsabili di questa differenza.
Abbiamo una situazione analoga al problema dei confronti multipli nell'analisi
della varianza. In una tabella di contingenza si possono localizzare le
differenze ripartendo i valori in sottotabelle e analizzando ognuna di
esse. Prima di tutto si può ripartire qualsiasi tabella di contingenza
in tante sottotabelle 2 x 2 quanti sono i gradi di libertà della
tabella originale.
Consideriamo una tabella generica 3 x 2:
|
Prima
caratteristica
|
Seconda
caratteristica
Colonna 1
|
Seconda
caratteristica
Colonna 2
|
|
|
Riga 1
|
f1
|
f2
|
R1
|
|
Riga 2
|
f3
|
f4
|
R2
|
|
Riga 3
|
f5
|
f6
|
R3
|
| |
C1
|
C2
|
n
|
da questa tabella 3 x 2 possiamo ottenere altre due sottotabelle 2 x
2:
Sottotabella no 1
|
Prima
caratteristica
|
Seconda caratteristica colonna 1
|
Seconda caratteristica
colonna 2
|
|
|
Riga1
|
f1
|
f2
|
R1
|
|
Riga 2
|
f3
|
f4
|
R2
|
| |
C1
|
C2
|
n
|
Sottotabella no 2
|
Prima
caratteristica
|
Seconda caratteristica colonna 1
|
Seconda caratteristica
colonna 2
|
|
|
Riga1
+
Riga 2
|
f1
+
f3
|
f2
+
f4
|
R1
+
R2
|
|
Riga 3
|
f5
|
f6
|
R3
|
| |
C1
|
C2
|
n
|
Ciascuna di queste tabelle ha 1 grado di libertà.
Per verificare l'interdipendenza tra i due gruppi è necessario modificare
il test per tener
conto del fatto che si tratta di sottotabelle ottenute da una tabella più
grande e, quindi, riflettono le caratteristiche del campione completo.
Le formule per la partizione sono le seguenti:
Consideriamo l'esempio del confronto fra tre farmaci A, B e C:
Tabella generica 3 x 2
|
|
EFFETTO
Migliorati
|
EFFETTO
non migliorati
|
|
|
Farmaco A
|
27
|
10
|
37
|
|
Farmaco B
|
20
|
6
|
26
|
|
Farmaco C
|
11
|
16
|
27
|
|
|
58
|
32
|
90
|
Sottotabella no 1
|
|
EFFETTO
migliorati
|
EFFETTO
non migliorati
|
|
| Farmaco A |
27
|
10
|
37
|
| Farmaco B |
20
|
6
|
26
|
|
|
47
|
16
|
63
|
Sottotabella no 2
|
|
EFFETTO
migliorati
|
EFFETTO
non migliorati
|
|
|
Farmaco A
+
Farmaco B
|
47
|
16
|
63
|
|
Farmaco C
|
11
|
16
|
27
|
|
|
58
|
32
|
90
|
A questo punto possiamo calcolare le statistiche 1
e 2
Confrontiamo il valore della statistica
relativa alla prima partizione per un grado di libertà (GL = 1)
poiché non supera i Valori
critici per la distribuzione del possiamo
affermare che il farmaco A ed il farmaco B hanno una efficacia simile.
Quindi è ragionevole combinare i risultati relativi al farmaco A
ed al farmaco B per confrontarli con i risultati ottenuti con il farmaco
C:
Questo valore di
supera il valore critico
per la distribuzione del (p
< 0,01) per un grado di libertà. Possiamo quindi concludere che
esiste una differenza statisticamente significativa fra l'attività
dei farmaci A e B confrontati con l'attività del farmaco C.