PREMESSA
Faremo uso di alcuni principi di statica e di dinamica che considereremo acquisiti:
a) principio di azione e reazione: ad ogni sistema di azioni (sotto forma di forze o di momenti) agente su una massa, corrisponde un sistema di reazioni, le quali possono essere forze (o momenti) oppure movimenti(1);
b) l'equilibrio (assenza di movimento) rispetto ad un dato sistema di riferimento è assicurato dalla mancanza di forze (e / o di momenti) oppure dalla loro risultante uguale a zero;
c) il principio di sovrapposizione degli effetti: l'effetto dell'azione di due forze è uguale alla somma degli effetti delle due forze considerate una per volta.

SVOLGIMENTO
Le reazioni vincolari si sviluppano quando una massa(2) è vincolata, cioè quando non è libera di muoversi(3) sotto l'azione delle forze e dei momenti(4). Ovviamente le reazioni derivano dalla presenza di altre masse collegate a quelle in studio(5).
Un oggetto appoggiato su un tavolo esercita una forza (il suo peso): se il tavolo non si rompe, significa che esso è capace di sviluppare una forza uguale e contraria (reazione) di modo che il sistema globale di forze ha risultante zero e il moto (verso terra) non avviene(6).
Per assicurare l'equilibrio quindi è necessario e sufficiente che l'insieme delle azioni abbia un insieme di reazioni tale che la somma totale sia zero: somma azioni + somma reazioni = 0. Entrambe le somme vanno eseguite tenendo conto del loro segno e del loro valore per cui , nel caso dell'oggetto appoggiato sul tavolo diremo P il suo peso e P la reazione per cui P - P = 0.

DEFINIZIONI
a) Vincolo: qualunque cosa capace di limitare il movimento delle masse;
b) Forza o azione: qualunque causa che produce il movimento rettilineo delle masse;
c) Momento o azione rotante: qualunque causa che produce la rotazione delle masse;
d) Reazione: forza che nasce nel vincolo per contrastare il movimento delle masse;
e) Movimenti: nel piano si possono definire tre movimenti: 1) orizzontale; 2) verticale; 3) rotatorio;
f) Trave: è un solido (massa) che ha una dimensione (lunghezza) molto maggiore delle altre due (larghezza e spessore);
g) Asse: segmento rettilineo o curvilineo che rappresenta la trave;

SVILUPPO
Una trave appoggiata su due cavalletti può far nascere solo due reazioni, una in ciascun cavalletto. Le forze applicate sulla trave possono essere una o molte (una persona o molte persone su di essa). Le reazioni quindi possono essere in numero uguale o diverso dal numero delle azioni. I movimenti sono tre e possono essere determinati da una o più azioni.
Può accadere che il numero dei movimenti possibili coincida oppure no con il numero dei movimenti impediti dai vincoli. Si possono allora verificare tre situazioni distinte a seconda che il numero dei vincoli (V) è minore, uguale o maggiore del numero dei movimenti possibili (gradi di libertà L): 1) V < L (trave ipo-statica); 2) V = L (trave iso-statica); 3) V > L (trave iper-statica)(7).
Ci occuperemo dei primi due casi (travi ipo e iso-statiche) nei quali è necessario e soprattutto sufficiente risolvere il sistema: somma delle azioni + somma delle reazioni = 0.

Nella figura, P sono le forze agenti sulla trave mentre R sono le reazioni degli appoggi A e B.

EQUAZIONI CARDINALI DELLA STATICA(8)
Chiamiamo X le azioni e le reazioni orizzontali, Y le azioni e le reazioni verticali, M le azioni e le reazioni rotanti: l'equilibrio è assicurato quando si ha contemporaneamente:

S X = 0               S Y = 0               S M = 0

Quante sono le reazioni? Una per ogni movimento impedito: l'incastro può impedire tre movimenti quindi può sviluppare tre reazioni (V = 3); la cerniera fissa può impedire due movimenti quindi può sviluppare due reazioni (V = 2); l'appoggio semplice e il carrello possono impedire un movimento quindi possono sviluppare una reazione (V = 1). E' bene ribadire la "possibilità" di sviluppare reazioni: infatti se non ci sono azioni ad esempio orizzontali, non ci sono movimenti orizzontali e quindi neppure reazioni orizzontali.
Quanti sono i movimenti? Ciascuna trave può compiere tre movimenti e quindi, detto n il loro numero, i movimenti possibili (gradi di libertà L) sono L = n * 3.
ATTENZIONE! Una volta individuate in modulo direzione e verso le reazioni, è possibile togliere i vincoli, sostituendoli con le reazioni stesse, poichè il compito unico dei vincoli è proprio quello di far nascere le reazioni.

I movimenti nel piano.

(1) Qui consideriamo il movimento come un particolare tipo di deformazione. Questo atteggiamento non è campato per aria in quanto tutte le masse, prima di muoversi, oppongono una resistenza (per esempio l'inerzia) durante la quale la massa subisce una vera deformazione. Poiché tutti i materiali si oppongono alle deformazioni producendo una reazione interna, potremo estendere il concetto di reazione chiamando così anche il movimento.
(2) La massa è il rapporto fra la forza agente e l'accelerazione che essa assume nel suo moto: m = F / a. Quando Newton rifletteva sui principi della meccanica (chiamata classica per distinguerla dalla relativistica e dalla quantistica) non cercava una definizione della forza, ma una definizione della massa valida in qualunque situazione, quindi anche nel vuoto e anche in assenza di attrazioni gravitazionali. Era ed è facile parlare di peso, specialmente vivendo su un oggetto, la Terra, che la produce spontaneamente; diverso è definire la massa in modo univoco in qualunque condizione.
(3) Il moto può essere rettilineo o rotatorio a seconda che l'azione sia rappresentata da una forza o da un momento. Se forza e momento sono concomitanti il moto è curvilineo (per esempio elicoidale).
(4) Prende il nome di momento l'azione rotante esercitata da una forza non passante per il baricentro della massa oppure da una coppia di forze.
(5) Se non ci fossero masse non ci sarebbero neppure forze. Ciò discende direttamente dal fatto che la forza deve avere un punto di applicazione.
(6) Naturalmente ci sono delle complicazioni: se l'oggetto è ad esempio molto pesante, il tavolo si piega vistosamente (deformazione di flessione): per ora non ci occuperemo di questo aspetto e considereremo il caso di corpi indeformabili (masse rigide).
(7) Il significato dei prefissi è: ipo = meno, iso = uguale, iper = più e quindi sarà: meno-che-statico, proprio-statico e più-che-statico. Naturalmente dal punto di vista fisico dire "più che statico" non ha significato. Lo ha soltanto per poter fare la suddetta classificazione.
(8) L'aggettivo "cardinale" indica che intorno a queste equazioni ruota gran parte della meccanica applicata alle costruzioni, così come le porte ruotano intorno ai loro cardini (perni di sostegno).