Yupana - 3. Operazioni matematiche

Yupana - L'abaco Inca
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3. Operazioni matematiche
di Nicolino De Pasquale

Moltiplicazione Si debba eseguire la moltiplicazione 5 x 3 = 15. Lo schema inca è riportato in figura 14.
Figura 14
E, analogamente, 5 x 120 = 600 di figura 15.
Figura 15
È semplice trovare la regola per posizionare il risultato velocemente, qualunque siano i livelli di appartenenza dei semi del moltiplicando e del moltiplicatore, purché appartenenti alle colonne terza e quarta. Conviene, pertanto, numerare i livelli e trovare il livello di pertinenza del prodotto sommando i numeri di livello di appartenenza dei fattori, come mostrato in figura 16; in pratica il posizionamento al livello 4 nasce dalla somma 1 + 3; così facendo abbiamo effettuato il prodotto 200 x 192.000 = 38.400.000 (5 x 40¹ x 3 x 40³ = 15 x 40¹+³ = 15 x 40⁴).
Figura 16
Nessun problema interviene quando si ha a che fare con i decimali. Ad esempio il calcolo relativo alla figura 17 corrisponde a 0,125 x 0,001875 = 0,000234375, con risultato a livello -3, ottenuto dalla somma -1 + (-2).
Figura 17
o ancora (figura 18) 0,003125 x 120 = 0,375 (-2 + 1 = -1). L'abaco inca trasforma i prodotti più complessi in semplici operazioni visive e posizionamento del risultato ad un livello individuato da una somma.
Figura 18

Divisione Analogamente a quanto abbiamo appena visto, una sottrazione interverrà nello stabilire il posizionamento del risultato nelle operazioni di divisione. Ad esempio, partendo dallo schema base della figura 19, corrispondente a 24,5 : 4 = 6,125, si può impostare logicamente lo schema dipendente di figura 20, che ci consente di effettuare la divisione 980 : 0,0025 = 392.000 ([24,5 x 40¹] : [4 x 40-²] = 6,125 x 40¹-(-²) = 6,125 x 40³), con il numero di livello del risultato ottenuto per sottrazione tra quelli del dividendo e del divisore: 1 - (-2) = 3.
Figura 19
Figura 20

Elevamento a potenza Il livello di pertinenza del risultato di un elevamento a potenza deve essere definito ricorrendo ad una operazione di moltiplicazione. Ad esempio 3² = 9, riportato in figura 21, è la scaturigine di tutti i quadrati delle terne che si trovano in terza colonna.
Figura 21
Sicché la figura 22 mostra 192.000² = 36.864.000.000, semplicemente perché 3 x 2 = 6 !
Figura 22
Figura 23
E la figura 23 consente il calcolo visivo di 0,001875² = 0,000003515625, essendo -4 = (-2) x 2.
Figura 24
La variazione dell'esponente non cambia la regola, che vuole il numero di livello di pertinenza del risultato dato dal prodotto tra il numero di livello della base e l'esponente. Alla stessa maniera 3³ = 27, rappresentato in figura 24, permette di calcolare 0,075³ = 0,000421875 con lo schema di figura 25, con posizionamento del risultato al livello -3, risultante dal prodotto (-1) x 3 = -3.
Figura 25

Estrazione di radice Non è difficile intuire, a questo punto, che una divisione accompagna i calcoli di estrazione di radici. Così 25½ = 5 di figura 26, ci consente di calcolare 0,000009765625½ = 0,003125, con posizionamento del risultato a livello -2 dal momento che -4 : 2 = -2 (figura 27).
Figura 26
Figura 27
Questo significa -senza sorpresa- che l'abaco inca consente l'elevamento a potenza con numeri decimali (come 2,5) purché il prodotto tra il livello di partenza e l'esponente sia intero.
Figura 28
Ad esempio, sapendo che 42,5 = 16 x 2 = 32 e che viene a disporsi nell'abaco come in figura 28, si può dedurre facilmente l'operazione indicata in figura 29 con il posizionamento al quinto livello legato al prodotto 2 x 2,5 = 5, che rappresenta la non semplice operazione 64002,5 = 3.276.800.000! Il caso, obiettivamente più difficile, di prodotti decimali sarà affrontato in altra occasione.
Figura 29

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