ds2 | = | (6.34) | |
= | (6.35) | ||
Fij | = | (6.36) |
dove:
e:
rappresenta il vettore posizione di un generico punto della sezione spaziale, e si cercano le condizioni che deve soddisfare V per risolvere le equazioni di campo.
L'equazione (6.12.a):
è banalmente soddisfatta per la antisimmetria del tensore .
La verifica della seconda equazione (6.12.b):
è più laboriosa, in quanto bisogna calcolare le quantità , , F2 ed R; si ha:
= | |||
= | (6.37) | ||
= | |||
= | (6.38) | ||
F2 | = | ||
= | (6.39) | ||
R | = | ||
= | (6.40) |
dove l'operatore è il gradiente nello spazio piatto 3-dimensionale. Sostituendo nella equazione di campo, si ha che questa è identicamente soddisfatta se:
(6.41) |
Analogamente si prova che l'ansatz scelto verifica anche la terza equazione di campo (6.12.c):
La condizione è, come è noto, l'equazione di Laplace dell'elettrostatica e della teoria gravitazionale node0.oniana, ed esprime in forma locale le proprietà dello spazio in cui non sono presenti cariche o masse.
Si può scegliere per V una espressione che, in generale, nel caso di una soluzione per buchi neri multipli, sia del tipo:
(6.42) |
dove ,
con
che denota la posizione dell'nmo buco nero.
V soddisfa l'equazione di Laplace in tutti i punti tranne , dove è singolare, e corrisponde ad una distribuzione di cariche puntiformi. Quando x si avvicina ad un particolare punto, diciamo il jmo, il corrispondente termine nella somma domina, cosicché:
Per c = 1 si ha l'estensione ad N buchi neri del caso già discusso, per cui la metrica è del tipo di Bertotti-Robinson vicino all'orizzonte di ciascuno dei buchi neri, e tende asintoticamente alla metrica di Minkowski all'infinito. Come dimostreremo esplicitamente per la metrica ``canonica'', questa soluzione corrisponde a N masse in cui gravità, elettromagnetismo e forze scalari si equilibrano in uno spazio asintoticamente piatto.
Per c = 0 invece, si ottiene una soluzione che, in prossimità del jmo termine, è:
e rappresenta ancora uno spazio di Bertotti-Robinson, ma in questo caso la soluzione è di Bertotti-Robinson anche all'infinito, con:
dove: