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Il calcolo parte dalle ipotesi fatte al capitolo sul muro di Fourier. In particolare:
1) il fluido nell'ambiente A si trova tutto alla temperatura costante t1;
2) il fluido nell'ambiente B si trova tutto alla temperatura costante t2;
3) le facce di separazione fra gli strati hanno la stessa temperatura essendo in intimo contatto cioè t2' = t1''; t2'' = t1'''; t2''' = t1'''';
4) t1 è maggiore di t2 per cui Q va da sinistra a destra;
5) i coefficienti c sono costanti perché gli strati sono omogenei ed isotropi;
6) il fluido di sinistra è diverso da quello di destra;
7) vale la teoria cinetica dei gas.
Cominciamo con una osservazione di fondamentale importanza: la superficie della parete a sinistra non ha la temperatura t1 e la superficie della parete a destra non ha la temperatura t2, cioè fra il fluido e la parete c'è un salto di temperatura, a sinistra da t1 a t1' e a destra da t1'''' a t2.
Infatti se consideriamo la particella a diretta contro la parete diremo che per effetto dell'urto (virtuale, cioè fra campi elettromagnetici) essa rimbalza nella posizione a' dopo aver ceduto una quota (non tutta!) della sua energia cinetica (che è in sostanza il calore posseduto dalla particella!).
La particella b nel suo moto verso la parete urta contro a' e le due particelle si scambiano una parte di energia in modo che a' accelera portandosi in a'' mentre b decelera portandosi in b' (ricordiamo che la velocità è proporzionale alla temperatura!).
Il risultato di tutti questi scambi parziali di energia è che in prossimità della parete ci sono particelle che possiedono temperatura inferiore a t1 secondo un diagramma indicativamente curvilineo come in figura.
Le particelle superficiali del muro hanno ricevuto energia dalle particelle del gas e ovviamente per quanto detto prima si trovano ad una temperatura inferiore a t1 e la trasmettono alle altre particelle che costitiscono il muro, secondo un diagramma rettilineo perché il muro è per ipotesi omogeneo.
Il fenomeno qui descritto in modo elementare è del tutto giustificato dalla legge generale secondo la quale il calore si trasmette naturalmente solo fra luoghi a temperatura diversa: se il muro avesse la stessa temperatura del gas, il calore non entrerebbe nel muro a sinistra (e non uscirebbe da esso a destra, poiché fra parete e acqua il fenomeno è simmetrico).
Riprendiamole considerazioni fatte nel paragrafo precedente.
Se indichiamo con h1 i coefficienti di trasmissione per convezione e con h2 i coefficienti di trasmissione per conduzione, analogamente a quanto si è scritto per il circuito elettrico si ha
essendo h1', h1'', h2', h2'' i coefficienti relativi ai diversi strati che costituiscono il muro.
Nel caso del muro in figura avremo due convezioni (convezione ambiente A - muro e muro - ambiente B) e tre conduzioni (uno per ciascuno strato solido), per cui per esso risulta:
Basta ora avere i coefficienti(*) h per poter calcolare la quantità di calore che attraversa un metro quadrato di muro in un'ora per avere i "numeri" per risolvere i problemi di riscaldamento domestico, dei generatori di vapore, ecc.
Supponiamo che:
1) A sinistra ci sia un gas in combustione alla temperatura costante t1 = 600 °C e che a destra ci sia dell'acqua alla temperatura(**) costante
t2 = 80 °C.
2) Il muro è costituito da uno strato di spessore s1 = 10 mm di acciaio, uno strato di spessore s2 = 30 cm di lana di roccia, uno strato di spessore
s3 = 12 cm di mattone refrattario.
3) Il coefficiente di convezione gas - acciaio sia h1' = 50 Cal / h m2 °C e il coefficiente di convezione mattone - acqua(***) sia h1'' = 48,7 Cal / h m2 °C.
4) Il coefficiente di conduzione interno dell'acciaio con 5 % di nichel sia c1 = 25 Cal / h m °C; della lana di roccia sia c2 = 0,047 Cal / h m °C; del mattone refrattario sia c3 = 0,6 Cal / h m °C.
Ricordando che h2 = c / s si ottiene sostituendo:
= 1 / [ (1 / 50) + (1 / 48,7) + (0,010 / 25) + (0,30 / 0,047) + (0,12 / 0,6) ] = 0,151 Cal / h m2 °C
Moltiplicando il valore di k per l'area S della superficie di trasmissione e per la differenza di temperatura Dt fra le due facce della parete in esame si determina la "portata" di calore fra i due fluidi. Oppure, viceversa, nota la portata di calore si possono determinare le temperature dei fluidi e tutte quelle intermedie, costruendo il loro diagramma lungo lo spessore del muro.
Purtroppo la soluzione non è così semplice in quanto i coefficienti, sia di convezione che di conduzione, nelle situazioni reali dipendono da così tante variabili che è quasi impossibile calcolare k: l'unico modo efficace è quello della sperimentazione, cioè della correzione continua dei parametri direttamente sul manufatto (collaudo).
(*) I valori dei coefficienti sono stati ricavati da - Colombo - Manuale dell'Ingegnere - 80a edizione - Hoepli. Vedi anche il paragrafo materiali isolanti nel capitolo dedicato all'Astrofisica.
(**) Lo scopo del muro è quello di non riscaldare l'acqua.
(***) Questo valore è stato assegnato per "far tornare i conti" come si vedrà nel paragrafo seguente. Occorre notare che, in questo caso, i valori di h possono variare di molto senza influenzare il valore di k.